知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．选修4-4：坐标系与参数方程
平面直角坐标系xOy中，点A（2，0）在曲线C₁：
x=acosφ
y=sinφ
，（a＞0，φ为参数）上．以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C₂的极坐标方程为：ρ=acosθ
（Ⅰ）求曲线C₂的普通方程
（Ⅱ）已知点M，N的极坐标分别为（ρ₁，θ），（ρ2，θ+
π
2
），若点M，N都在曲线C₁上，求
1
ρ
2
1
+
1
ρ
2
2
的值．

难度：较难

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2．在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，半圆C₁的极坐标方程为ρ=4sinθ，θ∈[
π
2
，π]
（1）求半圆C₁的参数方程；
（2）设动点A在半圆C₁上，动线段OA的中点M的轨迹为C₂，点D在C₂上，C₂在点D处的切线与直线y=
3
x+2平行，求点D的直角坐标．

难度：中等

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3．设直线l的参数方程为
x=
3
2
+tsin
5π
6
y=-tcos
π
6
（t为参数），若以直角坐标系xOy的O点为极点，Ox轴为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线C的极坐标方程为ρ=
6cosθ
sin2θ
．
（Ⅰ）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并指出曲线是什么曲线；
（Ⅱ）若直线l与曲线C交于A，B两点，求|AB|．

难度：较难

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4．在平面直角坐标系xOy中，曲线C₁的参数方程为
x=2cosα
y=2sinα
（α为参数），O为坐标原点，M为C₁上的动点，P点满足
OP
=2
OM
，点P的轨迹为曲线C₂．则C₂的参数方程为．

难度：中等

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5．已知x，y满足（x-1）²+（y+2）²=4，求S=3x-y的最小值为．

难度：中等

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6．已知曲线C₁的参数方程为
x=
2
cosθ
y=
2
sinθ
（θ为参数），以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C₂的极坐标方程为ρcosθ-ρsinθ=0（ρ≥0，0≤θ＜2π）
（Ⅰ）求曲线C₁与C₂交点的极坐标；
（Ⅱ）设曲线C₁与C₂的交点为A，B，线段AB上两点C，D，且|AC|=|BD|=
2
2
，P为曲线C₁上的点，求|PC|+|PD|的最大值．

难度：较难

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7．在极坐标系中，设圆
x=
6
2
cosθ
y=
6
2
sinθ
（θ为参数）上的点到直线ρ（
7
cosθ-sinθ）=
2
的距离为d，则d的最大值是．

难度：较难

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8．在直角坐标系xOy中，曲线C_l的参数方程为
x=
2
cosα
y=
2
sinα
（α为参数），以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C₂的极坐标方程为ρsin（θ+
π
4
）=4
2

（Ⅰ）求曲线C_l的普通方程与曲线C₂的直角坐标方程；
（Ⅱ）设P为曲线C₁上的动点，求点P到C₂上点的距离的最小值，并求此时点P的直角坐标．

难度：中等

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9．已知圆方程为y²-6ysinθ+x²-8xcosθ+7cos²θ+8=0．
①求圆心轨迹的参数方程C；
②点P（x，y）是①中曲线C上的动点，求2x+y的取值范围．

难度：较难

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10．按下列条件，把x²+y²-2rx=0（r＞0）化为参数方程：
（1）以曲线上的点与圆心的连线和x轴正方向的夹角φ为参数；
（2）以曲线上的点与原点的连线和x轴正方向的夹角θ为参数．

难度：中等

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