知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知函数f（x）=x²+bx+c（b，c∈R）满足f（b）≥f（c），记f（x）的最小值为m（b，c）．
（Ⅰ）证明：当b＞0时，m（b，c）≤1；
（Ⅱ）当b，c满足m（b，c）≥1时，求f（1）的最大值．

难度：较难

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2．已知函数f（x）=ax²-2ax+1+b（a＞0）
（1）若f（x）在区间[2，3]上的最大值为4、最小值为1，求a，b的值；
（2）若a=1，b=1，关于x的方程f（|2^x-1|）+k（4-3|2^x-1|）=0，有3个不同的实数解，求实数k的值．

难度：中等

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3．已知函数f（x）=（x-t）|x|（t∈R）．
（Ⅰ）求函数y=f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当t＞0时，若f（x）在区间[-1，2]上的最大值为M（t），最小值为m（t），求M（t）-m（t）的最小值．

难度：较难

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4．设函数f（x）=ax+3-|2x-1|．
（Ⅰ）若a=1，解不等式f（x）≤2；
（Ⅱ）若函数有最大值，求a的取值范围．

难度：中等

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5．已知函数f（x）=|x-3|，g（x）=-|x+4|+2m．
（1）当a＞0时，求关于x的不等式f（x）+1-a＞0（a∈R）的解集；
（2）若函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，求m的取值范围．

难度：中等

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6．已知a，b是实数，函数f（x）=x|x-a|+b．
（1）当a=2时，求函数f（x）的单调区间；
（2）当a＞0时，求函数f（x）在区间[1，2]上的最大值；
（3）若存在a∈[-3，0]，使得函数f（x）在[-4，5]上恒有三个零点，求b的取值范围．

难度：较难

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7．设函数f（x）=x²+bx-3，对于给定的实数b，f（x）在[b²，b]上有最大值M（b）和最小值m（b），记g（b）=M（b）-m（b）．
（1）求g（b）；
（2）如果对任意的x∈[b²，b]，都存在符合题意b，使得-b²f（x）=|g（b）|成立，求b的取值范围．

难度：中等

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8．如图是一块直角梯形园地ABCD，AB∥CD，∠BAD=90°，经测最，AB=14m，CD=10m，∠ABC=60°，拟过线段AB上一点E设计一条直路EF（点F在四边形ABCD的边上，不计路的宽度），将该园地分为面积之比为3：1的左、石两部分分别种植不同花卉．设EB=x，EF=y（单位：m）
（1）当点F与点C重合时，试确定点E的位置；
（2）求y关于x的函数关系式；
（3）请确定点E，F的位置，使直路EF长度最短．

难度：较难

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9．已知函数f（x）对任意实数x均有f（x）=kf（x+2），其中常数k为负数，且f（x）在区间[0，2]上有表达式f（x）=x（x-2）．
（1）求f（-1），f（2.5）的值（用k表示）；
（2）写出f（x）在[-3，2]上的表达式，并讨论f（x）在[-3，2]上的单调性（不要证明）；
（3）求出f（x）在[-3，2]上的最小值和最大值，并求出相应的自变量的取值．

难度：中等

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10． A、B两家公司分别对应聘者分别开出他们的工资标准如下：A公司第一年月工资为2000元，以后每年月工资比上一年月工资增加200元；B公司第一年月工资为2400元，以后每年月工资比上年月工资递增5%，若小李年初被两家公司同时录取录用，则他必须做出选择，在仅考虑工资收入的前提下，求解：
（1）若他在A公司或B公司连续工作n年，则在第n年的月工资分别是多少元？第10年的年收入在哪家公司较高？
（2）若他打算连续在一家公司工作10年，仅从工资收入总量较高作为应聘的标准，则应选哪家公司？（1.05⁹≈1.551，1.05¹⁰≈1.6289，1.05¹¹≈1.7103）

难度：中等

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