知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．定义在D上的函数f（x），若满足：对任意x∈D，存在常数M＞0，都有|f（x）|≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数f（x）的上界．
（1）设f（x）=
x
x+1
，判断f（x）在[-
1
2
，
1
2
]上是否有有界函数，若是，说明理由，并写出f（x）上所有上界的值的集合，若不是，也请说明理由；
（2）若函数g（x）=1+2^x+a•4^x在x∈[0，2]上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围．

难度：中等

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2．已知f（x）=
x2+ax+1-a(x≥0)
f(x+2)(x＜0)
．
（Ⅰ）若a=-8，求当-6≤x≤5时，|f（x）|的最大值；
（Ⅱ）对于任意的实数a（-2≤a≤4）都有一个最大的正数M（a），使得当x∈[0，M（a）]时，|f（x）|≤3恒成立，求M（a）的最大值及相应的a．

难度：较难

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3．求下列函数的最值：
（1）y=2x³+3x²，x∈[-2，1]；
（2）y=ln（1+x²），x∈[-1，2]；
（3）y=x+
1-x
，x∈[-5，1]．

难度：中等

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4．若a，b∈（0，+∞）且a+b=3，求
1+a
+
1+b
的最大值．

难度：中等

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5．已知a，b是实数，且函数f（x）=x+a|x-1|在区间（0，+∞）内存在最小值，则实数a的取值范围是．

难度：中等

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6．设
2
3
＜a＜1，函数f（x）=x³-
3
2
ax²+b在区间[-1，1]上的最大值为1，最小值为-
6
2
，求f（x）的表达式．

难度：中等

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7．函数y=
1
x-x2
的最小值为．

难度：中等

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8．若实数x，y满足关系式x+y+1=0，则式子S=
x2+y2-2x-2y+2
的最小值为．

难度：中等

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9．分别写出下列函数：y=log₂x，x∈[
1
2
，4]，y=cosx，x∈[-
π
3
，
π
2
]的最小值和最大值．

难度：中等

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10．已知函数f（x）=a^2x+ma^x-n（a＞0且a≠1），若存在实数x使得f（x）+f（-x）=-2，则m²+4n²的最小值为．

难度：中等

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