知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．设函数f（x）=|1-2x|-3|x+1|，f（x）的最大值为M，正数a，b满足
1
a3
+
1
b3
=Mab．
（Ⅰ）求M；
（Ⅱ）是否存在a，b，使得a⁶+b⁶=
ab
？并说明理由．

难度：中等

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2．已知值域为[-1，+∞）的二次函数满足f（-1+x）=f（-1-x），且方程f（x）=0的两个实根x₁，x₂满足|x₁-x₂|=2．
（1）求f（x）的表达式；
（2）函数g（x）=f（x）-kx在区间[-1，2]内的最大值为f（2），最小值为f（-1），求实数k的取值范围．

难度：中等

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3．设函数f（x）=k•a^x-a^-x（a＞0且a≠1）是奇函数．
（1）求常数k的值；
（2）若f(1)=
8
3
，且函数g（x）=a^2x+a^-2x-2mf（x）在区间[1，+∞）上的最小值为-2，求实数m的值．

难度：中等

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4．已知集合M{h（x）|h（x）的定义域为R，且对任意x都有h（-x）=-h（x）}设函数f（x）=
-2x+a
2x+1+b
（a，b为常数）．
（1）当a=b=1时，判断是否有f（x）∈M，说明理由；
（2）若函数f（x）∈M，且对任意的x都有f（x）＜sinθ成立，求θ的取值范围．

难度：较难

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5．已知，函数f（x）=log
1
2
（3-ax），函数g（x）=x²-2x+m．
（1）当a=1时，求x∈[0，1]时f（x）的最大值；
（2）若g（x）＜0在x∈（-1，2）恒成立，求m的取值范围；
（3）当a=3时，函数h(x)=(
1
2
)f(x)-3g(x)在x∈（0，1）有两个不同的零点，求m的取值范围．

难度：较难

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6．已知a＞0，a≠1且log_a3＞log_a2，若函数f（x）=log_ax在区间[a，2a]上的最大值与最小值之差为1．
（1）求a的值；
（2）求不等式log
1
3
(x-1)＞log
1
3
（a-x）的解集；
（3）设方程log2ax=(
1
2a
)x ， log
1
2a
x=(
1
2a
)x的根分别为x₁，x₂，求x₁x₂的取值范围．

难度：较难

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7．已知a为实常数，函数f（x）=
lnx+1
x
-a
（Ⅰ）求函数f（x）的最值；
（Ⅱ）设g（x）=xf（x）
（i）讨论函数g（x）的单调性；
（ii）若函数g（x）有两个不同的零点，求实数a的取值范围．

难度：较难

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8．定义在R上的函数f（x）=x²+|x-a|+2．（a为常数）
（1）判断函数的奇偶性；
（2）求函数在R上的最小值．

难度：中等

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9．已知函数f（x）=
9x-4•3x+3+a
3x-1
，x∈（0，1]，其中a为常数．
（1）若y=f（x）是减函数，求实数a的取值范围；
（2）求函数f（x）的最大值或最小值．

难度：中等

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10．已知函数f₁（x）=e^|x-2a+1|，f₂（x）=e^|x-a|+1，x∈R．
（1）若a=2，求f（x）=f₁（x）+f₂（x）在x∈[2，3]上的最小值；
（2）若|f₁（x）-f₂（x）|=f₂（x）-f₁（x）对于任意的实数x∈R恒成立，求a的取值范围．

难度：中等

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