知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

2．函数f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，∀x∈（0，+∞），f[f（x）-lnx]=e+1，给出下面四个命题：
①不等式f（x）＞0恒成立；
②函数f（x）存在唯一零点x₀，且x₀∈（0，1）；
③方程f（x）=x有且仅有一个根；
④方程f（x）-f′（x）=e+1（其中e为自然对数的底数）有唯一解x₀，且x₀∈（1，2）．
其中正确命题的个数为（　　）

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

难度：中等

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3．已知函数f（x）=

2x，x≥4

f(x+1) ，x＜4

，则f（2+log₂3）的值为（　　）

A．24

B．16

C．12

D．8

难度：较易

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4．定义在（0，+∞）上函数f（x）满足对任意x，y∈（0，+∞），都有xyf（xy）=xf（x）+yf（y），记数列a_n=f（2ⁿ），有以下命题：
①f（1）=0；
②a₁=a₂；
③令函数g（x）=xf（x），则g(x)+g(
1
x
)=0；
④令数列b_n=2ⁿ•a_n，则数列{b_n}为等比数列．
其中真命题的序号为．

难度：中等

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5．函数f（x）满足，对于任意x₁，x₂∈（-∞，0）∪（0，+∞），都有f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂），且f（x）在（0，+∞）上是增函数．
（1）判断f（x）在（-∞，0）上的单调性并证明你的结论；
（2）如果f（4）=2，f（x-1）＜4，求x的取值范围．

难度：中等

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6．已知函数f（x）为定义域在（0，+∞）上的增函数，且f（2）=1，f（xy）=f（x）+f（y），求使f（x）+f（x-3）＜2的x的取值范围．

难度：中等

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7．已知f（x）的定义域为R，且f（x+2）=f（x），当x∈[-1，1]时，f（x）=x²．设I_k=（2k-1，2k+1]，k∈Z．
（1）求f（x）在I_k上的解析式；
（2）若关于x的方程f（x）=ax在I_k上恰有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围．

难度：较难

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8．已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），当x∈（0，1）时f（x）＞0，且x，y∈（0，+∞）时总有f（x•y）=f（x）+f（y）
（1）求证：f（
x
y
）=f（x）-f（y）；
（2）证明：函数f（x）在定义域（0，+∞）上为减函数；
（3）若f（3）=1，且f（a）＜f（a-1）+2，求a的取值范围．

难度：中等

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9．若定义在R上的不恒为零的函数f（x）满足：∀x，y∈R都有f²（x）-f²（y）=f（x+y）f（x-y），则称函数f（x）为“平方差函数”，下列命题：
（1）若f（x）=
1，x≥0
0，x＜0
，则f（x）为“平方差函数”；
（2）若f（x）=kx（k＞0），则f（x）为“平方差函数”；
（3）若f（x）为“平方差函数”，则f（x）为奇函数；
（4）若f（x）为“平方差函数”，则f（x）为增函数．
其中正确命题的序号是（写出所有正确命题的序号）

难度：中等

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10．已知f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，若a，b∈[-1，1]，a+b≠0时，都有（f（a）+f（b））（a+b）＞0成立，且f（1）=3．
（1）判断f（x）在区间[-1，1]上的单调性，并给出证明；
（2）解不等式：f（x+
1
2
）＜f（
1
x-1
）；
（3）若f（x）+3≥-m²-2tm对所有的x∈[-1，1]，t∈[-1，1]恒成立，求实数m的取值范围．

难度：较难

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