知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知函数f（x）=|x-3|．
（1）求不等式f（x）＜2+|x+1|的解集；
（2）已知m，n∈R⁺且
1
m
+
1
n
=2mn，求证：mf（n）+nf（-m）≥6．

难度：中等

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2．已知甲、乙、丙三种食物的维生素及成本入戏表实数：
食物类型甲乙丙
维生素C（单位/kg） 300 500 300
维生素D（单位/kg） 700 100 300
成本（元/kg） 5 4 3
某学校食堂欲将这三种食物混合加工成100kg混合食物，且要求混合食物中至少需要含35000单位的维生素C及40000单位的维生素D．
（1）设所用食物甲、乙、丙的质量分别为xkg，ykg，100-x-ykg（x≥0，y≥0），试列出x，y满足的数学关系式，并画出相应的平面区域；
（2）用x，y表示这100kg混合食物的成本z，求出z的最小值．

难度：中等

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3．已知函数f（x）=|2x+1|+|2x-3|
（1）求不等式f（x）≤6的解集；
（2）若关于x的不等式f（x）≤|a-2|的解集非空，求实数a的取值范围．

难度：中等

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4．已知x，y满足约束条件
x≥1
x-3y≤-4
3x+5y≤30.
．
（1）画出函数的可行域，求目标函数z=2x+y的最大值；
（2）求z=
y+5
x+5
的最大值．

难度：中等

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5．若x，y均为正实数，且x+4y-xy=0，求x+y的最小值及取得最小值时x，y的值．

难度：中等

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6．如图（1）所示，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器，如图（2）所示，求这个正六棱柱容器容积最大值．

难度：中等

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7．若a＞b＞0，证明：a²+
1
(a-b)b
≥4．

难度：较易

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8．在平面直角坐标系中，已知A={（x，y）|x+y≤1，x≥0，y≥0}，求B={（x+y，x-y）|（x，y）∈A}所表示的平面区域的面积．

难度：中等

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9．某人上午7时乘摩托艇以匀速v n mile/h（4 n mile/h≤t≤20 n mile/h）从A港出发到距50 n mile的B港，然后乘汽车以匀速ω km/h（30 km/h≤ω≤100 km/h）自B港向距300km的C市驶去，应该在同一天下午4点至9点到达C市．设汽车、摩托艇所需的时间分别是x h和y h，所需要的经费P=100+3•（5-x）+2•（8-y）元，求v、ω分别是多少时走的最经济？此时需要花费多少元？

难度：中等

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10．设a＞0，b＞0，且a+b=
1
a
+
1
b

（1）证明：a+b≥2；
（2）a²+a≤2，求b²+b的取值范围．

难度：中等

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食物类型	甲	乙	丙
维生素C（单位/kg）	300	500	300
维生素D（单位/kg）	700	100	300
成本（元/kg）	5	4	3