知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．设已知三条直线l₁：mx-y+m=0，l₂：x+my-m（m+1）=0，l₃：（m+1）x-y+（m+1）=0，它们围成△ABC．
（1）求证：不论m为何值，△ABC有一个顶点为定点；
（2）当m为何值时，△ABC面积有最大值和最小值，并求此最大值与最小值．

难度：较难

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2．已知函数f（x）=ax²+ln（x+1）（a∈R）．
（Ⅰ）当a=2时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当x∈[0，+∞）时，函数y=f（x）图象上的点都在
x≥0
x-y≥0
，所表示的平面区域内，求实数a的取值范围．
（Ⅲ）将函数y=f（x）的导函数的图象向右平移一个单位后，再向上平移一个单位，得到函数y=g（x）的图象，试证明：当a=
1
2
时，[g（x）]ⁿ-g（xⁿ）≥2ⁿ-2（n∈N⁺）．

难度：较难

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3．已知函数f（x）=ax²-bx+1，
（Ⅰ）是否存在实数a，b使f（x）＞0的解集是（3，4），若存在，求实数a，b的值，若不存在请说明理由．
（Ⅱ）若a＜0，b=a-2，且不等式f（x）≠0在（-2，-1）上恒成立，求a的取值范围．

难度：中等

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4．已知函数f（x）=x²+bx+c，f（x）≤0的解集为{x|-4≤x≤-1}．
（1）求实数b，c的值；
（2）求函数g(x)=
f(x)
x
（x＞0），求函数的最小值及此时x的值．

难度：中等

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5．已知函数f（x）=6lnx+x²-8x，g(x)=
p
x
+x2
(p∈R)
．
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）若在区间[1，e]上至少存在一点x₀，使f（x₀）＞g（x₀）成立，求实数p的取值范围．

难度：较难

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6．已知等差数列{a_n}的首项为a，公差为b，且不等式ax²-3x+2＞0的解集为（-∞，1）∪（b，+∞）
（1）求数列{a_n}的通项公式
（2）设数列{b_n}满足bn=
1
anan+1
求数列{b_n}的前n项和S_n．

难度：中等

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7．已知二次函数f（x）=ax²+bx+c（a＞0，c＞0）的图象与x轴有两个不同的公共点，且有f（c）=0，当0＜x＜c时，恒有f（x）＞0．
（1）（文）当a=1，c=
1
2
时，求出不等式f（x）＜0的解；
（2）（理）求出不等式f（x）＜0的解（用a，c表示）；
（3）若以二次函数的图象与坐标轴的三个交点为顶点的三角形的面积为8，求a的取值范围；
（4）若f（0）=1，且f（x）≤m²-2km+1，对所有x∈[0，c]，k∈[-1，1]恒成立，求实数m的取值范围．

难度：较难

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8．如图，在平面四边形ABCD中，已知E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点．若|EG|²-|HF|²=1，设|AD|=x，|BC|=y，|AB|=z，|CD|=1，则
2x+y
z2+8
的最大值是．

难度：中等

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9．若不等式x²-x-ax+a≤0的解也是不等式x²-ax+1-a＞0的解，则a的取值范围是．

难度：较易

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10．设关于x的不等式4x²+2（p-2）x-2p²-p+1＞0的解集为A，且A∩[-1，1]≠∅，则实数p的取值范围是．

难度：中等

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