知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．设函数f（x）=1nx+
a
2
x²-（a+1）x（a∈R）．
（1）当a=
1
2
时，求函数（x）的单调区间；
（2）当x＞1时，若f（x）＜
a
2
x2-x-a（a＞0）恒成立，求实数a的取值范围．

难度：中等

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2．已知函数f（x）=
1
4
a（x-2）⁴+（x-2）²+a（x-2）（a≠0），函数f（x）与函数g（x）的图象关于直线x=1对称．
（1）求函数g（x）．
（2）a≥2时，求证：函数g（x）在区间（
a
a+1
，1）不单调．

难度：较难

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3．设f（x）=e^x-e^-x-ax（a∈R）．
（Ⅰ）若f（x）在R上是单调函数，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）证明：当x∈R时，e^x+e^-x≥x²+2；
（Ⅲ）证明：当x≥0时，对任意n∈N⁺，e^x+e^-x≥2+2[
x2
2!
+
x4
4!
+…+
x2n
(2n)!
]．

难度：中等

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4．已知函数f（x）=
1
2
ax²+2x，g（x）=lnx．
（1）如果函数h（x）=f（x）-g（x）在[1，+∞）上是单调减函数，求a的取值范围；
（2）是否存在实数a＞0，使得方程g（x）=xf′（x）-x（2a+1）在区间（
1
e
，e）内有解，若存在，请求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．
（3）设r（x）=x²-ax+g（
1+ax
2
）对于任意的a∈（1，2），总存在x₀∈[
1
2
，1]，使不等式r（x）＞k（1-a²）成立，求实数k的取值范围．

难度：中等

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5．已知函数f（x）=4x³+bx²+ax+5在x=
3
2
，x=-1处有极值
（1）求函数的解析式；
（2）讨论函数的单调性并写出单调区间；
（3）求函数在[-1，2]上的最值．

难度：中等

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6．已知承数f（x）=e^x+ax-1（a∈R）．
（I）求f（x）的单凋区间：
（Ⅱ）若f（x）≥x²对x≥0都成立，求实数a的取值范围．

难度：中等

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7．已知函数f（x）=ax+（1-a）lnx+
1
x
，（a∈R）．
（1）当a=0时，求f（x）的极值；
（2）当a＜0时，求f（x）的单调区间．

难度：较难

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8．已知函数f（x）=mx³-3（m+1）x²+nx（m，n∈R且m＜0），且x=1是f（x）的极值点．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）当实数m发生变化时，是否存在实数m，使得函数y=f（x）（-1≤x≤1）的图象上任意一点的切线斜率总不小于3m？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由；
（3）设-2≤m＜0，函数g（x）=ln（x+1）+
mx
x+2
（2≤x≤3），若对于任意x₁∈[2，3]，总存在x₀∈[0，1]，使得f（x₀）=g（x₁）成立，求m的取值范围．

难度：较难

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9．已知函数f（x）=x²-2a（-1）^klnx（k∈N^*，a∈R且a＞0）．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）若k=2016时，关于x的不等式f（x）≥2ax对任意的x∈[e，+∞）恒成立，e为自然对数的底数，求正数a的取值范围；
（3）若函数y=g（x）在x=x₀处取得极大值或极小值，则称x0为函数y=g（x）的极值点．若k=2016，函数g（x）=
1
a
f（x）-
1
a
x²+x-
m
x
（m∈R）有两个极值点x₁，x₂，且x₁＜x₂，试判断g（x₂）与x₂-1大小，并证明你的结论．

难度：较难

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10．已知函数f（x）=ax³+
3
2
x²sinθ-6x+1，且对任意的实数t，恒有f′（-e t2）≥0，f′（3|cost|-1）≤0．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）对∀x₁，x₂∈[0，3]，求证：|f（x₁）-f（x₂）|≤10．

难度：中等

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