知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．设函数f（x）=1nx+
a
2
x²-（a+1）x（a∈R）．
（1）当a=
1
2
时，求函数（x）的单调区间；
（2）当x＞1时，若f（x）＜
a
2
x2-x-a（a＞0）恒成立，求实数a的取值范围．

难度：中等

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2．已知函数h（x）=-2ax+lnx．
（1）当a=1时，求h（x）在（2，h（2））处的切线方程；
（2）令f（x）=
a
2
x²+h（x）已知函数f（x）有两个极值点x₁，x₂，且x₁•x₂＞
1
2
，求实数a的取值范围；
（3）在（2）的条件下，若存在x₀∈[1+
2
2
，2]，使不等式f（x₀）+ln（a+1）＞m（a²-1）-（a+1）+2ln2对任意a（取值范围内的值）恒成立，求实数m的取值范围．

难度：中等

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3．设函数f（x）=x+ax²+blnx，曲线y=f（x）过点P（1，0），且在P点处的切线斜率为2．
（1）求a，b的值；
（2）设函数g（x）=f（x）-2x+2，证明：g（x）≤0．

难度：较难

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4．已知函数f（x）=lnx-x
（1）求函数g（x）=f（x）-x-2的图象在x=1处的切线方程
（2）证明：|f(x)|＞
lnx
x
+
1
2

（3）设m＞n＞0，比较
f(m)-f(n)
m-n
+1与
m
m2+n2
的大小，并说明理由．

难度：较难

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5．已知函数f（x）=（x²+ax）e^x的两个极值点为x₁，x₂且x₁＜x₂，x₁+x₂=-2-
5
，曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=kx+1
（1）求k，x₁，x₂的值；
（2）当m≤-e时，求证：[f（x）+2e^x]•[（x-2）e^x-m+1]＞
3
4
e^x．

难度：中等

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6．设函数f（x）=x²-ln（x+a）+b，g（x）=x³
（1）若函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程是x+y=0，求实数a，b的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，当x∈（0，+∞）时，求证：f（x）＜g（x）；
（Ⅲ）证明：对于任意的正整数n，不等式1+
1
e4
+
1
e18
+…+
1
e(n-1)n2
＜
n(n+3)
2
成立．

难度：中等

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7．设f（x）=e^x-e^-x-ax（a∈R）．
（Ⅰ）若f（x）在R上是单调函数，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）证明：当x∈R时，e^x+e^-x≥x²+2；
（Ⅲ）证明：当x≥0时，对任意n∈N⁺，e^x+e^-x≥2+2[
x2
2!
+
x4
4!
+…+
x2n
(2n)!
]．

难度：中等

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8．已知函数f（x）=
1
2
ax²+2x，g（x）=lnx．
（1）如果函数h（x）=f（x）-g（x）在[1，+∞）上是单调减函数，求a的取值范围；
（2）是否存在实数a＞0，使得方程g（x）=xf′（x）-x（2a+1）在区间（
1
e
，e）内有解，若存在，请求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．
（3）设r（x）=x²-ax+g（
1+ax
2
）对于任意的a∈（1，2），总存在x₀∈[
1
2
，1]，使不等式r（x）＞k（1-a²）成立，求实数k的取值范围．

难度：中等

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9．已知承数f（x）=e^x+ax-1（a∈R）．
（I）求f（x）的单凋区间：
（Ⅱ）若f（x）≥x²对x≥0都成立，求实数a的取值范围．

难度：中等

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10．已知函数f（x）=aln（x+1）+
1
x+1
+2x-1．
（1）当a=2时，求函数y=f（x）的图象在x=0处的切线方程；
（2）当x≥0时，f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．

难度：中等

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