知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知函数f（x）=
x
a
-e^x（a＞0）．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）求函数f（x）在[1，2]上的最大值．

难度：中等

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2．已知函数f（x）=ax²-
1
2
x+2ln（x+1）
（Ⅰ）求函数f（x）的图象在点（0，f（0））的切线方程；
（Ⅱ）设函数h（x）=f（x）-ln（x+1），当x∈[0，+∞）时，h（x）≤
1
2
x恒成立，求实数a的取值范围．

难度：较难

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3．设函数f（x）=
a•2x+a-2
2x+1
（a∈R）
（1）若f（x）为奇函数，求a的值．
（2）若f（x）定义在[-4，+∞）上，且对f（x）定义域内的一切实数x，f（cosx+b+
1
4
）≥f（sin²x-b-3）恒成立，求实数b的取值范围．

难度：中等

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4．已知a是大于0的实数，函数f（x）=x²（x-a）．
（1）若f′（2）=0，求a值；
（2）求f（x）在区间[0，2]上的最小值；
（3）在（1）的条件下，设g（x）=f（x）+
m
x-1
是[3，+∞）上的增函数，求实数m的最大值．

难度：中等

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5．已知函数f（x）=2x³-3x²+1，对于区间[
1
2
，2]上的任意x₁，x₂，|f（x₁）-f（x₂）|的最大值是．

难度：中等

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6．设a为实数，函数f（x）=x³-x²-x-a，若函数f（x）过点A（1，0），求函数在区间[-1，3]上的最值．

难度：中等

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7．已知函数f（x）=lnx，g（x）=alnx-
1
2
x²，h（x）=
1
2
x²．
（1）求函数g（x）的单调区间；
（2）对于函数f（x）与h（x）定义域内的任意实数x，若存在直线y=kx+b，使得f（x）≤kx+b和h（x）≥kx+b都成立，则称直线y=kx+b为函数f（x）与h（x）的分界线，求证：直线y=x-
1
2
为函数f（x）与h（x）的分界线．

难度：中等

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8．已知函数f（x）=lnx十
2a
x+1
（a∈R）．
（Ⅰ）若函数f（x）存在极大值，试求a的取值范围；
（Ⅱ）当a为何值时，对任意的x＞0，且x≠1，均有
lnx
x-1
-
a
x+1
＞0．

难度：中等

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9．已知函数f（x）=e^x-x，g（x）=ax²+1，其中e为自然对数的底数．
（1）若函数F（x）=f（x）-g（x）的导函数F′（x）在[0，+∞）上是增函数，求实数a的最大值；
（2）求证：f（1）+f（
1
2
）+f（
1
3
）+…+f（
1
n
）＞
n(2n+3)
2(n+1)
，n∈N₊．

难度：中等

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10．已知函数f（x）=lnx+ax²+1的图象在点（1，f（1））处切线的斜率为3．
（1）求实数a的值；
（2）证明：存在正实数λ，使得|
1-x
f(x)-lnx
|≤λ恒成立．

难度：中等

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