知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．设常数λ＞0，a＞0，函数f（x）=
x2
λ+x
-alnx．
（1）当a=
3
4
λ时，若f（x）最小值为0，求λ的值；
（2）对任意给定的正实数λ，a，证明：存在实数x₀，当x＞x₀时，f（x）＞0．

难度：较难

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2．已知函数f（x）=ax，g（x）=lnx，其中a∈R．
（1）若函数F（x）=f[sin（1-x）]+g（x）在区间（0，1）上为增函数，求a的取值范围；
（2）设a_n=sin
1
(n+1)2
，求证：
n
k=1
ak＜ln2．

难度：较难

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3．设函数f（x）=lnx，g（x）=x-
1
x
．
（1）求函数φ（x）=
5
4
f（x）-
1
2
g（x）的极值；
（2）若x≥1时，恒有f（x）≤λg（x）成立，求λ的最小值．

难度：中等

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4．已知函数f（x）=x-
1
x
-alnx．
（1）若f′（2+
3
）=0，求函数f（x）的极大值点；
（2）若当x≥1时，f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．

难度：中等

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5．已知f（x）=e^x，g（x）=x+1．
（1）证明：f（x）≥g（x）；
（2）求y=f（x），y=g（x）与x=-1所围成的封闭图形的面积．

难度：中等

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6．已知函数f（x）=
1
3
x3-ax+4，(a＞0)
（1）讨论函数 f （x）的单调性；
（2）若对任意的a∈[1，4），都存在x₀∈（2，3]使得不等式f（x₀）+e^a+2a＞m成立，求实数m 的取值范围．

难度：较难

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7．已知f（x）=e^2x+（1-2t）e^x+t²
（1）若g（t）=f（1），讨论关于t的函数y=g（t）在t∈[0，m]（m＞0）上的最小值；
（2）若对任意的t∈R，x∈[0，+∞）都有f（x）≥ax+2-cosx，求a的范围．

难度：较难

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8．设函数f（x）=ax³-3ax²+b（a＞0）在区间[1，4]上有最大值23，最小值3，求a，b的值．

难度：中等

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9．已知函数f（x）=ax³+
3
2
x²sinθ-6x+1，且对任意的实数t，恒有f′（-e t2）≥0，f′（3|cost|-1）≤0．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）对∀x₁，x₂∈[0，3]，求证：|f（x₁）-f（x₂）|≤10．

难度：中等

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10．已知二次函数y=f（x）的导函数的图象与直线y=2x平行，且y=f（x）在x=-
1
2
处取得极小值c-
1
4
（c＞0）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）令g（x）=
f(x)
x
，求y=g（x）在[1，2]上的最大值．

难度：中等

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