知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

3．已知函数f（x）=（a-1）x+xlnx在点（1，f（1））处的切线斜率为1．
（Ⅰ）求g（x）=
f(x)
x-1
的单调区间；
（Ⅱ）若m＞n＞1，求证：
m n
n m
＞
n
m
．

难度：较难

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4．在同一坐标系中，直线l是函数f（x）=
1-x2
在（0，1）处的切线，若直线l也是g（x）=-x²+mx的切线，则m= ．

难度：中等

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5．已知函数f（x）=
x
ex
+x²-x（其中e=2.71828…）．
（Ⅰ）求f（x）在（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）若函数g（x）=ln[f（x）-x²+x]-b的两个零点为x₁，x₂，证明：
1
2
[g′（x₁）+g′（x₂）]＞g′（
x1+x2
2
）．

难度：中等

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6．在平面直角坐标系xOy中，点P（x₀，y₀）在曲线y=x²（x＞0）上，已知A（0，-1）P_n（
x
n
0
，
y
n
0
），n∈N，记直线AP_n的斜率为k_n．
（1）若k₁=2，求P₁的坐标；
（2）若k₁为偶数，求证：k_n为偶数．

难度：较难

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7．设a为实数，记函数f（x）=ax-ax³（x∈[
1
2
，1]）的图象为C，如果任何斜率不小于1的直线与C都至多有一个公共点，则a的取值范围是．

难度：中等

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8．设函数f（x）=x³-
9
2
x²+6x-a．
（1）若曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线在x轴上的截距为1，求a的值
（2）求函数f（x）的极值．
（3）若方程f（x）=0有且仅有三个实根，求实数a的取值范围．

难度：中等

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9．已知函数y=x²的图象在点（x₀，
x
2
0
）处的切线为l，若l也与函数y=lnx，x∈（0，1）的图象相切，则x₀必满足．

难度：中等

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10．已知曲线y=
|x|
ex
（x∈R，e是自然对数的底数）在x=-1处的切线和它在x=x₀（x₀≠0）处的切线互相垂直，设x₀∈（
m
4
，
m+1
4
），m是整数，则m= ．

难度：中等

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