知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．曲线y=lnx的过原点的切线方程是．

难度：中等

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2．设函数f（x）=ax³-3ax，g（x）=bx²-lnx（a，b∈R），已知它们在x=1处的切线互相平行．
（1）求b的值；
（2）若函数F(x)=
f(x)，x≤0
g(x)，x＞0
，且方程F（x）=a²有且仅有四个解，求实数a的取值范围．

难度：中等

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3．已知过原点O作函数f（x）=e^x（x²-x+a）的切线恰好有三条，切点分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），（x₃，y₃），且x₁＜x₂＜x₃．
（Ⅰ）求实数a的取值范围．
（Ⅱ）求证：x₁＜-3．

难度：中等

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4．已知函数f(x)=
-x3+x2+bx+c(x＜1)
alnx(x≥1)
的图象过点（-1，2），且在点（-1，f（-1））处的切线与直线x-5y+1=0垂直．
（Ⅰ）求实数b，c的值；
（Ⅱ）求f（x）在[-1，e]（e为自然对数的底数）上的最大值．

难度：较难

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5．已知函数f（x）=ln（x+1）-ax+
1-a
x+1
（a≥2）．
（1）当曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线与直线l：y=-2x+1平行时，求a的值；
（2）求函数y=f（x）的单调区间．

难度：中等

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6．在直角坐标系xOy中，设A点是曲线C₁：y=ax³+1（a＞0）与曲线C2：x2+y2=
5
2
的一个公共点，若C₁与C₂在A点处的切线互相垂直，则实数a的值是．

难度：较难

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7．设函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（a、b、c、d∈R）满足：∀x∈R都有f（x）+f（-x）=0，且x=1时，f（x）取极小值-
2
3
．
（1）f（x）的解析式；
（2）当x∈[-1，1]时，证明：函数图象上任意两点处的切线不可能互相垂直：
（3）设F（x）=|xf（x）|，证明：x∈(0，
3
)时，F(x)≤
3
4
．

难度：中等

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8．已知函数f(x)=
1
3
x3+ax2-bx+1(x∈R，a，b为实数)
（1）若函数f（x）有极值，且在x=1处的切线与直线x-y+1=0平行，求实数a的取值范围；
（2）若y=f（x）在区间[-1，2]上是单调减函数，求a+b的最小值．

难度：较易

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9．已知a＞0，函数f（x）=
1-ax
x
，x∈（0，+∞）．设0＜x₁＜
2
a
，记曲线y=f（x）在点M（x₁，f（x₁））处的切线为l
（1）求l的方程；
（2）设l与x轴交点为（x₂，0），求证：①0＜x₂≤
1
a
； ②若0＜x₁＜
1
a
，则x₁＜x₂＜2x₁．

难度：较难

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10．若曲线f（x）=x⁴-x+2在点发P处的切线与直线x+3y-1=0垂直，则点P的坐标是．

难度：中等

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