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          共50条信息

            • 1．
              设函数\(f(x)= \dfrac {1}{2}x^{2}+e^{x}-xe^{x}\)
              \((1)\)求\(f(x)\)的单调区间；
              \((2)\)若当\(x∈[-2,2]\)时，不等式\(f(x) > m\)恒成立，求实数\(m\)的取值范围．
              难度：中等
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            • 2．
              已知函数\(f(x)=\ln x- \dfrac {a}{x}\)．
              \((\)Ⅰ\()\)若\(a > 0\)，试判断\(f(x)\)在定义域内的单调性；
              \((\)Ⅱ\()\)若\(f(x)\)在\([1,e]\)上的最小值为\( \dfrac {3}{2}\)，求实数\(a\)的值；
              \((\)Ⅲ\()\)若\(f(x) < x^{2}\)在\((1,+∞)\)上恒成立，求实数\(a\)的取值范围．
              难度：较难
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            • 3．
              已知函数\(f(x)=x\ln x\)，\(g(x)=λ(x^{2}-1)(λ\)为常数\()\)
              \((1)\)已知函数\(y=f(x)\)与\(y=g(x)\)在\(x=1\)处有相同的切线，求实数\(λ\)的值；
              \((2)\)如果\(λ= \dfrac {1}{2}\)，且\(x\geqslant 1\)，证明\(f(x)\leqslant g(x)\)；
              \((3)\)若对任意\(x∈[1,+∞)\)，不等式\(f(x)\leqslant g(x)\)恒成立，求实数\(λ\)的取值范围．
              难度：中等
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            • 4．
              已知函数\(f(x)= \dfrac {\ln x+k}{e^{x}}(\)其中\(k∈R\)，\(e=2.71828…\)是自然数的底数\()\)，\(f′(x)\)为\(f(x)\)的导函数．
              \((1)\)当\(k=2\)时，求曲线\(y=f(x)\)在点\((1,f(1))\)处的切线方程；
              \((2)\)若\(x∈(0,1]\)时，\(f′(x)=0\)都有解，求\(k\)的取值范围；
              \((3)\)若\(f′(1)=0\)，试证明：对任意\(x > 0\)，\(f′(x) < \dfrac {e^{-2}+1}{x^{2}+x}\)恒成立．
              难度：中等
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            • 5．
              已知函数\(g(x)= \dfrac {x}{\ln x}\)，\(f(x)=g(x)-ax\)．
              \((1)\)求函数\(g(x)\)的单调区间；
              \((2)\)若函数\(f(x)\)在\((1,+∞)\)上是减函数，求实数\(a\)的最小值；
              \((3)\)若存在\(x_{1}\)，\(x_{2}∈[e,e^{2}]\)，使\(f(x_{1})\leqslant f′(x_{2})+a\)，求实数\(a\)的取值范围．
              难度：难
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            • 6．
              为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层，某幢建筑物要建造可使用\(20\)年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为\(3\)万元\(.\)该建筑物每年的能源消耗费用\(C(\)单位：万元\()\)与隔热层厚度\(x(\)单位：\(cm)\)满足关系：\(C(x)= \dfrac {k}{3x+5}(0\leqslant x\leqslant 10)\)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为\(4\)万元\(.\)设\(f(x)\)为隔热层建造费用与\(20\)年的能源消耗费用之和．
              \((1)\)求\(k\)的值及\(f(x)\)的表达式．
              \((2)\)隔热层修建多厚时，总费用\(f(x)\)达到最小，并求最小值．
              难度：较易
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            • 7．
              已知函数\(f(x)=ax^{2}-x-\ln x(a∈R)\)．
              \((\)Ⅰ\()\)求函数\(f(x)\)的单调区间；
              \((\)Ⅱ\()\)当\(a=1\)时，证明：\((x-1)(x^{2}\ln x-f(x))\geqslant 0\)．
              难度：较易
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            • 8．
              已知函数\(f(x)= \dfrac {x}{\ln x}-ax\)．
              \((\)Ⅰ\()\)若函数\(f(x)\)在\((1,+∞)\)上是减函数，求实数\(a\)的最小值；
              \((\)Ⅱ\()\)已知\(f′(x)\)表示\(f(x)\)的导数，若\(∃x_{1}\)，\(x_{2}∈[e,e^{2}](e\)为自然对数的底数\()\)，使\(f(x_{1})-f′(x_{2})\leqslant a\)成立，求实数\(a\)的取值范围．
              难度：难
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            • 9．
              已知函数\(f(x)=x^{2}-ax-a\ln x(a∈R)\)．
              \((1)\)若函数\(f(x)\)在\(x=1\)处取得极值，求\(a\)的值；
              \((2)\)当\(x∈[e,+∞)\)时，\(f(x)\geqslant 0\)恒成立，求\(a\)的取值范围．
              难度：较易
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            • 10．
              已知定义在\((0, \dfrac {π}{2})\)上的函数\(f(x)\)，\(f′(x)\)为其导函数，且\(f(x) < f′(x)⋅\tan x\)恒成立，则\((\)　　\()\)
              A．\( \sqrt {3}f( \dfrac {π}{4}) > \sqrt {2}f( \dfrac {π}{3})\)
              B．\( \sqrt {3}f( \dfrac {π}{6}) < f( \dfrac {π}{3})\)
              C．\( \sqrt {2}f( \dfrac {π}{6}) > f( \dfrac {π}{4})\)
              D．\(f(1) < 2f( \dfrac {π}{6})⋅\sin 1\)
              难度：难
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