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          共50条信息

            • 1． 已知函数f（x）=ax-lnx，F（x）=ex+ax，其中x＞0，a＜0，e为自然对数的底数．
              （Ⅰ）若f（x）和F（x）在区间（0，ln3）内具有相同的单调性，求实数a的取值范围；
              （Ⅱ）若，且函数g（x）=xeax-1-2ax+f（x）的最小值为M，求M的最小值．
              难度：中等
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            • 2． 已知函数f（x）=alnx+
              1
              2
              bx2-（b+a）x．
              （Ⅰ）当a=1，b=0时，求f（x）的最大值；
              （Ⅱ）当b=1时，设α，β是f（x）两个极值点，且α＜β，β∈（1，e]（其中e为自然对数的底数）．求证：对任意的x1，x2∈[α，β]，|f（x1）-f（x2）|＜1．
              难度：中等
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            • 3． 省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合放射性污染指数f（x）与时刻x（时）的关系为f（x）=|
              x
              x2+1
              -a|              +2a+
              2
              3
              ，x∈R，其中a是与气象有关的参数，且a∈[0，
              1
              2
              ]，若取每天f（x）的最大值为当天的综合放射性污染指数，并记作M（a）．
              （1）令t=
              x
              x2+1
              ，x∈R，求t的取值范围；
              （2）省政府规定，每天的综合放射性污染指数不得超过2，试问：目前市中心的综合放射性污染指数是否超标？
              难度：较难
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            • 4． 某广场二雕塑造型结构如图所示，最上层是呈水平状态的圆环且圆心为O，其半径为2m，通过金厲杆BC，CA1，CA2，…，CAn支撑在地面B处（BC垂直于水平面）．A1，A2，A3，…，An是圆环上的n等分点，圆环所在的水平面距地面1Om，设金属杆CA1，CA2，…，CAn所在直线与圆环所在水平面所成的角都为θ（圓环及金厲杆均不计粗细）
              （1）当θ为60°且n=3时，求金厲杆BC，CA1，CA2，CA3的总长？
              （2）当θ变化，n一定时，为美观与安全起见，要求金属杆BC，CA1，CA2，…，CAn的总长最短，此时θ的正弦值是多少？并由此说明n越大，C点的位置将会上移还是下移．
              难度：中等
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            • 5． 对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），定义：设f″（x）是函数y=f′（x）的导数，若方程f″（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”．有同学发现：“任何一个三次函数都有‘拐点’；任何一个三次函数都有对称中心；且‘拐点’就是对称中心．”请你将这一发现为条件，解答问题：若函数g（x）=
              1
              3
              x3-
              1
              2
              x2+3x-
              5
              12
              +
              1
              x-
              1
              2
              ，则g(
              1
              2011
              )+g(
              2
              2011
              )+g(
              3
              2011
              )+g(
              4
              2011
              )+…+g(
              2010
              2011
              )              的值是（　　）
              A．2010
              B．2011
              C．2012
              D．2013
              难度：较难
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            • 6． 如下图，已知f（x）=ax3+bx2+cx+d（d≠0），记△=4（b2-3ac），则当△≤0，a＞0时，f（x）的大致图象为（　　）
              A．
              B．
              C．
              D．
              难度：较难
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            • 7． 设点B在点A的正东方向60cm处，现在A、B两点同时开始运动，A以15cm/s的速度向东，B以10cm/s的速度向北做匀速直线运动，求变动的AB连线长在第2秒末的速率．
              难度：中等
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            • 8． 已知物体的运动方程为s=t2+
              3
              t
              （t是时间，s是位移），则物体在时刻t=2时的速度为（　　）
              A．
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              4
              B．
              17
              4
              C．
              15
              4
              D．
              13
              4
              难度：中等
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            • 9． 某汽车启动阶段的路途函数是s（t）=2t3-5t2，则t=2秒时，汽车的加速度是     ．
              难度：较易
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            • 10． 已知函数f（x）=
              -x2+x，(x≤1)
              lnx，(x＞1)
              ，
              （Ⅰ）求函数f（x）的单调区间和极值；
              （Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2）是函数f（x）图象上的两点且x1＜1，x2＞1，若直线PQ是函数f（x）图象的切线且P、Q都是切点，求证：3＜x2＜4；（参考数据：ln2≈0.6931，ln3≈1.0986）
              （Ⅲ）设函数g（x）的定义域为D，区间I⊆D，若函数g（x）在I上可导，对任意的x0∈I，g（x）的图象在（x0，g（x0））处的切线为l，函数g（x）图象上所有的点都在直线l上方或直线l上，则称区间I为函数g（x）的“下线区间”．类比上面的定义，请你写出函数“上线区间”的定义，并根据你所给的定义，判断区间（-∞，
              3
              8
              ）是否是函数f（x）的“上线区间”（不必证明）．
              难度：难
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