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          共50条信息

            • 1．
              已知函数\(f(x)=(x+a)\ln (x+a)\)，\(g(x)=- \dfrac {a}{2}x^{2}+ax\)．
              \((1)\)函数\(h(x)=f(e^{x}-a)+g{{'}}(e^{x})\)，\(x∈[-1,1]\)，求函数\(h(x)\)的最小值；
              \((2)\)对任意\(x∈[2,+∞)\)，都有\(f(x-a-1)-g(x)\leqslant 0\)成立，求\(a\)的范围．
              难度：难
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            • 2．
              设函数\(f(x)=xe^{x}-ax(a∈R,a\)为常数\()\)，\(e\)为自然对数的底数．
              \((\)Ⅰ\()\)当\(f(x) > 0\)时，求实数\(x\)的取值范围；
              \((\)Ⅱ\()\)当\(a=2\)时，求使得\(f(x)+k > 0\)成立的最小正整数\(k\)．
              难度：难
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            • 3．
              已知函数\(f(x)=a\ln x\)，\(g(x)=x+ \dfrac {1}{x}+f′(x)\)
              \((\)Ⅰ\()\)讨论\(h(x)=g(x)-f(x)\)的单调性；
              \((\)Ⅱ\()\)若\(h(x)\)的极值点为\(3\)，设方程\(f(x)+mx=0\)的两个根为\(x_{1}\)，\(x_{2}\)，且\( \dfrac {x_{2}}{x_{1}}\geqslant e^{a}\)，求证：\( \dfrac{f\;{{'}}\left({x}_{1}+{x}_{2}\right)+m}{f\;{{'}}\left({x}_{1}-{x}_{2}\right)} > \dfrac {6}{5}\)．
              难度：中等
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            • 4．
              已知函数\(f(x)= \dfrac {ex}{e^{x}}\)．
              \((\)Ⅰ\()\)求函数\(f(x)\)极值；
              \((\)Ⅱ\()\)若直线\(y=ax+b\)是函数\(f(x)\)的切线，判断\(a-b\)是否存在最大值？若存在求出最大值，若不存在说明理由．
              \((\)Ⅲ\()\)求方程\(f[f(x)]=x\)的所有解．
              难度：较易
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            • 5．
              已知函数\(f(x)=x+ \dfrac {a}{x}(a > 0)\)．
              \((1)\)证明：当\(x > 0\)时，\(f(x)\)在\((0, \sqrt {a}]\)上是减函数，在\([ \sqrt {a},+∞)\)上是增函数，并写出当\(x < 0\)时\(f(x)\)的单调区间；
              \((2)\)已知函数\(h(x)=x+ \dfrac {4}{x}-8,x∈[1,3]\)，函数\(g(x)=-x-2b\)，若对任意\(x_{1}∈[1,3]\)，总存在\(x_{2}∈[1,3]\)，使得\(g(x_{2})=h(x_{1})\)成立，求实数\(b\)的取值范围．
              难度：中等
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            • 6．
              已知函数\(f(x)=(x+1)^{2}-a\ln x\)．
              \((\)Ⅰ\()\)讨论函数的单调性；
              \((\)Ⅱ\()\)若函数\(f(x)\)在区间\((0,+∞)\)内任取两个不相等的实数\(x_{1}\)，\(x_{2}\)，不等式\( \dfrac {f(x_{1}+1)-f(x_{2}\;+1)}{x_{1}-x_{2}} > 1\)恒成立，求\(a\)的取值范围．
              难度：难
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            • 7．
              已知函数\(f(x)= \dfrac {1+\ln (x+1)}{x}(x > 0)\)．
              \((\)Ⅰ\()\)函数\(f(x)\)在区间\((0,+∞)\)上是增函数还是减函数？证明你的结论；
              \((\)Ⅱ\()\)当\(x > 0\)时，\(f(x) > \dfrac {k}{x+1}\)恒成立，求整数\(k\)的最大值；
              \((\)Ⅲ\()\)试证明：\((1+1⋅2)⋅(1+2⋅3)⋅(1+3⋅4)⋅…⋅(1+n(n+1)) > e^{2n-3}\)．
              难度：较难
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            • 8．
              已知函数\(f(x)=(x-1)^{2}- \dfrac {x}{e^{x}}\)．
              \((\)Ⅰ\()\)求函数的单调区间；
              \((\)Ⅱ\()\)若函数\(f(x)\)有两个零点\(x_{1}\)，\(x_{2}\)，证明\(x_{1}+x_{2} > 2\)．
              难度：中等
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            • 9．
              已知函数\(f(x)= \dfrac {1}{2}x^{2}+(1-a)x-a\ln x\)．
              \((\)Ⅰ\()\)讨论\(f(x)\)的单调性；
              \((\)Ⅱ\()\)设\(a < 0\)，若对\(∀x_{1}\)，\(x_{2}∈(0,+∞)\)，\(|f(x_{1})-f(x_{2})|\geqslant 4|x_{1}-x_{2}|\)，求\(a\)的取值范围．
              难度：较易
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            • 10．
              已知函数\(f(x)=e^{x}\)，\(g(x)= \dfrac {a}{2}x+b(a,b∈R)\)，
              \((1)\)若\(h(x)=f(x)g(x)\)，\(b=1- \dfrac {a}{2}.\)求\(h(x)\)在\([0,1]\)上的最大值\(φ(a)\)的表达式；
              \((2)\)若\(a=4\)时，方程\(f(x)=g(x)\)在\([0,2]\)上恰有两个相异实根，求实根\(b\)的取值范围．
              难度：中等
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