知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知函数f（x）=ax+ $%20%5Cfrac%20%7B2a-1%7D%7Bx%7D$ +1-3a（a＞0）．
（Ⅰ）当a=1时，求函数y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程（写成一般式）．
（Ⅱ）若不等式f（x）≥（1-a）lnx在x∈[1，+∞）时恒成立，求实数a的取值范围．

难度：较易

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2．某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价定为P元，则销售量Q（单位：件）与零售价P（单位：元）有如下关系：Q=8300-170P-P²．问该商品零售价定为 ______ 元时毛利润最大（毛利润=销售收入-进货支出）．

难度：中等

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3．如图，已知A，B两镇分别位于东西湖岸MN的A处和湖中小岛的B处，点C在A的正西方向1km处，tan∠BAN= $%20%5Cfrac%20%7B3%7D%7B4%7D$ ，∠BCN= $%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B4%7D$ ，现计划铺设一条电缆联通A，B两镇，有两种铺设方案：①沿线段AB在水下铺设；②在湖岸MN上选一点P，先沿线段AP在地下铺设，再沿线段PB在水下铺设，预算地下、水下的电缆铺设费用分别为2万元∕km、4万元∕km．
（1）求A，B两镇间的距离；
（2）应该如何铺设，使总铺设费用最低？

难度：较易

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4．已知函数f（x）=a（x-1）-lnx（a∈R），g（x）=e^x-x-1．
（1）求函数g（x）的单调区间；
（2）若对任意x∈[1，+∞），存在x₀∈R，使得f（x）≥g（x₀）成立，求a的取值范围．

难度：难

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5．已知函数f（x）=log_a（a^x+1）+bx（a＞0且a≠1，b∈R）的图象关于y轴对称，且满足f（0）=1．
（Ⅰ）求a、b的值；
（Ⅱ）若函数g（x）=f（x）- $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ x+c在[0，1]上存在零点，求实数c的取值范围；
（Ⅲ）若函数φ（x）=2^f（2x）+x+λ×2^x-1（x∈-1，2]），是否存在实数λ使得φ（x）的最小值为-1，若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由．

难度：中等

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6．已知函数f（x）=ax²-lnx，a∈R．
（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）是否存在实数a，使函数f（x）在区间（0，e]上的最小值为 $%20%5Cfrac%20%7B3%7D%7B2%7D$ ，若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由．

难度：难

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7．已知函数 $f%28x%29%3D2%2B%20%5Cfrac%20%7B4%7D%7Bx%7D%EF%BC%8Cg%28x%29%3D2%5E%7Bx%7D$ ．
（1）设函数h（x）=g（x）-f（x），求函数h（x）在区间[2，4]上的值域；
（2）定义min（p，q）表示p，q中较小者，设函数H（x）=min{f（x），g（x）}（x＞0），
①求函数H（x）的单调区间及最值；
②若关于x的方程H（x）=k有两个不同的实根，求实数k的取值范围．

难度：较易

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8．设函数f（x）=a²lnx-x²+ax，（a＞0）．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）求所有实数a，使e-1≤f（x）≤e²，∀x∈[1，e]恒成立．

难度：较易

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9．把一个周长为12 cm的长方形围成一个圆柱，当圆柱的体积最大时，该圆柱的底面周长与高的比为 ______ ．

难度：较易

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10．已知函数f（x）= $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ x²+lnx．
（Ⅰ）求函数f（x）在[1，e]上的最大值、最小值；
（Ⅱ）求证：在区间[1，+∞）上，函数f（x）的图象在函数g（x）= $%20%5Cfrac%20%7B2%7D%7B3%7D$ x³图象的下方；
（Ⅲ）求证：[f′（x）]ⁿ-f′（xⁿ）≥2ⁿ-2（n∈N^*）．

难度：较难

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