知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

2．
已知函数\(f(x)=ax^{2}+\ln x(a∈R)\)有最大值\(- \dfrac {1}{2}\)，\(g(x)=x^{2}-2x+f(x)\)，且\(g{{'}}(x)\)是\(g(x)\)的导数．
\((\)Ⅰ\()\)求\(a\)的值；
\((\)Ⅱ\()\)证明：当\(x_{1} < x_{2}\)，\(g(x_{1})+g(x_{2})+3=0\)时，\(g′(x_{1}+x_{2}) > \dfrac {1}{2}\)．

难度：中等

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3．
已知函数\(f(x)= \dfrac {1}{2}x^{2}+(2a-2)x-4a\ln x\)．
\((1)\)讨论\(f(x)\)的单调性；
\((2)\)设\(a=1\)，若存在\(x_{1}\)，\(x_{2}∈(2,+∞)\)，且\(x_{1}\neq x_{2}\)，使不等式\(|f(x_{1})-f(x_{2})|\leqslant k|\ln x_{1}-\ln x_{2}|\)成立，求实数\(k\)的取值范围．

难度：难

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4．
设函数\(f(x)=\ln x-x+1\)．
\((1)\)求函数\(f(x)\)的极值；
\((2)\)证明：\(\ln x\leqslant x-1\)．

难度：较易

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5．
设函数\(f(x)=e^{x}-ax\)．
\((1)\)讨论\(f(x)\)的单调性；
\((2)\)当\(x\geqslant 0\)时，\(2e^{x}\geqslant (x-a)^{2}\)，求\(a\)的取值范围．

难度：难

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6．
已知函数\(f(x)=b\ln x\)，\(g(x)=ax^{2}-x(a∈R)\)
\((1)\)若曲线\(f(x)\)与\(g(x)\)在公共点\(A(1,0)\)处有相同的切线，求实数\(a\)，\(b\)的值；
\((2)\)若\(a > 0\)，\(b=1\)，且曲线\(f(x)\)与\(g(x)\)总存在公共的切线，求正数\(a\)的最小值．

难度：较易

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7．
已知函数\(f(x)= \dfrac {1}{2}x^{2}-(2a+2)x+(2a+1)\ln x\)．
\((1)\)求\(f(x)\)的单调区间；
\((2)\)对任意的\(a∈[ \dfrac {3}{2}, \dfrac {5}{2}]\)，\(x_{1}\)，\(x_{2}∈[1,2]\)，恒有\(|f(x_{1})-f(x_{2})|\leqslant λ| \dfrac {1}{x_{1}}- \dfrac {1}{x_{2}}|\)，求正实数\(λ\)的取值范围．

难度：中等

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8．
已知常数项为\(0\)的函数\(f(x)\)的导函数为\(f′(x)=a+ \dfrac {1}{x}\)，其中\(a\)为常数．
\((1)\)当\(a=-1\)时，求\(f(x)\)的最大值；
\((2)\)若\(f(x)\)在区间\((0,e](e\)为自然对数的底数\()\)上的最大值为\(-3\)，求\(a\)的值．

难度：较易

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9．
已知函数\(f(x)=|x-3|-2\)，\(g(x)=-|x+1|+4\)．
\((1)\)求不等式\(f(x)\leqslant 1\)的解集；
\((2)\)若不等式\(f(x)-g(x)\geqslant m+1\)的解集为\(R\)，求\(m\)的取值范围．

难度：较易

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10．
已知函数\(f(x)=\ln (x+m)-x(m\)为常数\()\)在\(x=0\)处取得极值．
\((\)Ⅰ\()\)求实数\(m\)的取值；
\((\)Ⅱ\()\)求当\(x∈[- \dfrac {1}{2},+∞)\)时，函数\(g(x)=f(x)-x^{2}\)的最大值．

难度：较易

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