知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
已知函数\(f(x)=ax^{2}+\ln (x+1)\)．
\((1)\)当\(a=- \dfrac {1}{4}\)时，求函数\(f(x)\)的单调区间；
\((2)\)若函数\(f(x)\)在区间\([1,+∞)\)上为减函数，求实数\(a\)的取值范围；
\((3)\)当\(x∈[0,+∞)\)时，不等式\(f(x)-x\leqslant 0\)恒成立，求实数\(a\)的取值范围．

难度：中等

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2．
已知函数\(f(x)=2\ln x-x^{2}\)，若方程\(f(x)+m=0\)在\([ \dfrac {1}{e},e]\)内有两个不等的实根，则实数\(m\)的取值范围是 ______ ．

难度：较易

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3．
设函数\(f(x)=a(x+1)^{2}\ln (x+1)+bx(x > -1)\)，曲线\(y=f(x)\)过点\((e-1,e^{2}-e+1)\)，且在点\((0,0)\)处的切线方程为\(y=0\)．
\((\)Ⅰ\()\)求\(a\)，\(b\)的值；
\((\)Ⅱ\()\)证明：当\(x\geqslant 0\)时，\(f(x)\geqslant x^{2}\)；
\((\)Ⅲ\()\)若当\(x\geqslant 0\)时，\(f(x)\geqslant mx^{2}\)恒成立，求实数\(m\)的取值范围．

难度：中等

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4．
已知函数\(f(x)=x+ \dfrac {α}{x}+\ln x(α∈R)\)
\((1)\)求函数\(f(x)\)的单调区间与极值点；
\((2)\)若对\(∀α∈[ \dfrac {1}{e},2e^{2}]\)，函数\(f(x)\)满足对\(∀x∈[l,e]\)都有\(f(x) < m\)成立，求实数\(m\)的取值范围\((\)其中\(e\)是自然对数的底数\()\)．

难度：难

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5．
已知函数\(f(x)=2\ln x-x^{2}\)
\((1)\)讨论\(f(x)\)的单调性并求最大值；
\((2)\)设\(g(x)=xe^{x}-(a-1)x^{2}-x-2\ln x\)，若\(f(x)+g(x)\geqslant 0\)恒成立，求实数\(a\)的取值范围．

难度：较易

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6．
已知函数\(f(x)=\ln x-a(x-1)\)，\(g(x)=e^{x}\)．
\((1)\)求函数\(f(x)\)的单调区间；
\((2)\)当\(a\neq 0\)时，过原点分别作曲线\(y=f(x)\)与\(y=g(x)\)的切线\(l_{1}\)，\(l_{2}\)，已知两切线的斜率互为倒数，证明：\( \dfrac {e-1}{e} < a < \dfrac {e^{2}-1}{e}\)；
\((3)\)设\(h(x)=f(x+1)+g(x)\)，当\(x\geqslant 0\)，\(h(x)\geqslant 1\)时，求实数\(a\)的取值范围．

难度：中等

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7．
设函数\(f(x)=x^{2}+bx-a\ln x\)．
\((\)Ⅰ\()\)若\(x=2\)是函数\(f(x)\)的极值点，\(1\)和\(x_{0}\)是函数\(f(x)\)的两个不同零点，且\(x_{0}∈(n,n+1)\)，\(n∈N\)，求\(n\)．
\((\)Ⅱ\()\)若对任意\(b∈[-2,-1]\)，都存在\(x∈(1,e)(e\)为自然对数的底数\()\)，使得\(f(x) < 0\)成立，求实数\(a\)的取值范围．

难度：中等

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8．
已知函数\(f(x)=\ln x-ax^{2}\)在\(x=1\)处的切线与直线\(x-y+1=0\)垂直．
\((\)Ⅰ\()\)求函数\(y=f(x)+xf′(x)(f′(x)\)为\(f(x)\)的导函数\()\)的单调递增区间；
\((\)Ⅱ\()\)记函数\(g(x)=f(x)+ \dfrac {3}{2}x^{2}-(1+b)x\)，设\(x_{1}\)，\(x_{2}(x_{1} < x_{2})\)是函数\(g(x)\)的两个极值点，若\(b\geqslant \dfrac {e^{2}+1}{e}-1\)，且\(g(x_{1})-g(x_{2})\geqslant k\)恒成立，求实数\(k\)的最大值．

难度：较易

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9．
设函数\(f(x)=ax\ln x+ \dfrac {1}{x}(a > 0)\)．
\((\)Ⅰ\()\)当\(a=1\)时，讨论\(f(x)\)的单调性；
\((\)Ⅱ\()\)设\(g(x)=f(x)-ax\)，若\(g(x)\geqslant 0\)恒成立，求\(a\)的取值范围．

难度：难

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10．
已知函数\(f(x)= \dfrac {e^{x}-a}{x}\)，\(g(x)=a\ln x+a\)．
\((1)a=1\)时，求\(F(x)=f(x)-g(x)\)的单调区间；
\((2)\)若\(x > 1\)时，函数\(y=f(x)\)的图象总在函数\(y=g(x)\)的图象的上方，求实数\(a\)的取值范围．

难度：较易

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