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          共50条信息

            • 1．

              在一张足够大的纸板上截取一个面积为\(3 600 cm^{2}\)的矩形纸板\(ABCD\)，然后在矩形纸板的四个角上切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的长方体纸盒\((\)如图\().\)设小正方形边长为\(x cm\)，矩形纸板的两边\(AB\)，\(BC\)的长分别为\(a cm\)和\(b cm\)，其中\(a\geqslant b\)．


              \((1)\)当\(a=90\)时，求纸盒侧面积的最大值；

              \((2)\)试确定\(a\)，\(b\)，\(x\)的值，使得纸盒的体积最大，并求出最大值．

              难度：中等
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            • 2．

              把一个周长为\(12 cm\)的长方形围成一个圆柱，当圆柱的体积最大时，该圆柱的底面周长与高的比为________．

              难度：较难
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            • 3．

              某食品厂进行蘑菇的深加工，每公斤蘑菇的成本为\(20\)元，并且每公斤蘑菇的加工费为\(t\)元\((t\)为常数，且\(2\leqslant t\leqslant 5).\)设该食品厂每公斤蘑菇的出厂价为\(x\)元\((25\leqslant x\leqslant 40)\)，根据市场调查，销售量\(q\)公斤与\(e^{x}\)成反比，当每公斤蘑菇的出厂价为\(30\)元时，日销售量为\(100\)公斤．

              \((1)\)求该工厂的每日利润\(y\)元与每公斤蘑菇的出厂价\(x\)元的函数关系式；

              \((2)\)若\(t=5\)，当每公斤蘑菇的出厂价\(x\)为多少时，该工厂的每日利润\(y\)最大？并求最大值．

              难度：较易
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            • 4． 如图所示，直立在地面上的两根钢管\(AB\)和\(CD\)，两根钢管相距\(1m\)，\(AB=10 \sqrt {3}m\)，\(CD=3 \sqrt {3}m\)，现用钢丝绳对这两根钢管进行加固，在\(AB\)上取一点\(E\)，以\(C\)为支点将钢丝绳拉直并固定在地面的\(F\)处，形成一个直线型的加固\(.\)设\(BE=x(m)\)，\(∠EFD=θ(rad)\)，\(EF=l(m)\)．
              \((1)\)试将\(l(m)\)分别表示成\(x(m)\)，\(θ(rad)\)的函数；
              \((2)\)选择其中一个函数模型求\(l(m)\)的最小值，并求相应的\(x(\)或\(θ)\)的值．
              难度：较易
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            • 5．
              已知函数\(f(x)=x\ln x-x+ \dfrac {1}{2}x^{2}- \dfrac {1}{3}ax^{3}\)，\(f(x)\)为函数\(f(x)\)的导函数．
              \((l)\)若\(F(x)=f(x)+b\)，函数\(F(x)\)在\(x=1\)处的切线方程为\(2x+y-l=0\)，求\(a\)、\(b\)的值；
              \((2)\)若\(f′(x)\leqslant -x+ax\)恒成立，求实数\(a\)的取值范围；
              \((3)\)若曲线\(y=f(x)\)上存在两条倾斜角为锐角且互相平行的切线，求实数\(a\)的取值范围．
              难度：中等
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            • 6．
              已知函数\(f(x)= \dfrac {e^{x}}{x}\)的定义域为\((0,+∞)\)．
              \((\)Ⅰ\()\)求函数\(f(x)\)在\([m,m+1](m > 0)\)上的最小值；
              \((\)Ⅱ\()\)对任意\(x∈(0,+∞)\)，不等式\(xf(x) > -x^{2}+λx-1\)恒成立，求实数\(λ\)的取值范围．
              难度：中等
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            • 7．

              已知函数\(f(x)=\ln x+ \dfrac{a}{x}-2 \)．

              \((1)\)讨论\(f(x) \)的单调性；

              \((2)\)若函数\(y=f(x) \)的两个零点为\({x}_{1},{x}_{2}({x}_{1} < {x}_{2}) \)，证明：\({x}_{1}+{x}_{2} > 2a \)．

              难度：难
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            • 8．

              一个物体的运动方程为\(s(t)=1-t\)，其中\(s\)的单位是米，\(t\)的单位是秒，那么物体在第\(3\)秒的瞬时速度是(    )

              A．\(1\)米\(/\)秒
              B．\(-1\)米\(/\)秒
              C．\(2\)米\(/\)秒
              D．\(-2\)米\(/\)秒
              难度：较易
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            • 9． 已知函数\(f(x)=a- \dfrac {1}{x}-\ln x\)，\(g(x)=e^{x}-ex+1\)．
              \((\)Ⅰ\()\)若\(a=2\)，求函数\(f(x)\)在点\((1,f(1))\)处的切线方程；
              \((\)Ⅱ\()\)若\(f(x)=0\)恰有一个解，求\(a\)的值；
              \((\)Ⅲ\()\)若\(g(x)\geqslant f(x)\)恒成立，求实数\(a\)的取值范围．
              难度：较难
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            • 10． 已知函数\(f(x)=\ln \dfrac {1+x}{1-x}\)，
              \((\)Ⅰ\()\)求曲线\(y=f(x)\)在点\((0,f(0))\)处的切线方程；
              \((\)Ⅱ\()\)求证，当\(x∈(0,1)\)时，\(f(x) > 2(x+ \dfrac {x^{3}}{3})\)；
              \((\)Ⅲ\()\)设实数\(k\)使得\(f(x) > k(x+ \dfrac {x^{3}}{3})\)对\(x∈(0,1)\)恒成立，求\(k\)的最大值．
              难度：较难
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