知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

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共50条信息

1．已知函数 $f%28x%29%3D%20%5Cfrac%20%7Ba%2Blnx%7D%7Bx%7D$ ，曲线f（x）在点（e，f（e））处的切线与直线y=e²x+e垂直．
（1）求a的值及f（x）的极值；
（2）是否存在区间 $%28t%EF%BC%8Ct%2B%20%5Cfrac%20%7B2%7D%7B3%7D%29%28t%EF%BC%9E0%29$ ，使函数f（x）在此区间上存在极值和零点？若存在，求实数t的取值范围，若不存在，请说明理由；
（3）若不等式x²f（x）＞k（x-1）对任意x∈（1，+∞）恒成立，求整数k的最大值．

难度：较易

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2．已知函数 $f%28x%29%3Dalnx%2B%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7Dx%5E%7B2%7D%2B%28a%2B1%29x%2B1$ ．
（1）当a=-1时，求函数f（x）的单调增区间；
（2）若函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围；
（3）若a＞0，且对任意x₁，x₂∈（0，+∞），x₁≠x₂，都有|f（x₁）-f（x₂）|＞2|x₁-x₂|，求实数a的最小值．

难度：中等

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3．运动员小王在一个如图所示的半圆形水域（O为圆心，AB是半圆的直径）进行体育训练，小王先从点A出发，沿着线段AP游泳至半圆上某点P处，再从点P沿着弧PB跑步至点B处，最后沿着线段BA骑自行车回到点A处，本次训练结束．已知OA=1500m，小王游泳、跑步、骑自行车的平均速度分别为2m/s，4m/s，10m/s，设∠PAO=θrad．
（1）若 $%CE%B8%3D%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B3%7D$ ，求弧PB的长度；
（2）试将小王本次训练的时间t表示为θ的函数t（θ），并写出θ的范围；
（3）请判断小王本次训练时间能否超过40分钟，并说明理由．
（参考公式：弧长l=rα，其中r为扇形半径，α为扇形圆心角．）

难度：中等

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4．用边长为120cm的正方形铁皮做一个无盖水箱，先在四周分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接成水箱，则水箱的最大容积为（　　）

A．120 000 cm³

B．128 000 cm³

C．150 000 cm³

D．158 000 cm³

难度：较易

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5．设函数 $f%28x%29%3D%20%5Cfrac%20%7Ba%7D%7Bx%5E%7B2%7D%7D%2Blnx%EF%BC%8Ca%E2%88%88R$ ．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）如果对任意的 $x%E2%88%88%5B%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D%EF%BC%8C2%5D$ ，都有 $f%28x%29%E2%89%A5%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Bx%7D$ 恒成立，求实数a的取值范围．

难度：较易

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6．已知f（x）=xlnx．
（1）求 $g%28x%29%3D%20%5Cfrac%20%7Bf%28x%29%2B2%7D%7Bx%7D$ 的单调区间；
（2）若不等式k+2x-e≤f（x）恒成立，求k的取值范围．

难度：难

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7．已知函数f（x）=xlnx+a（a∈R）
（Ⅰ）若f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若0＜x₁＜x₂，求证：对于任意x∈（x₁，x₂），不等式 $%20%5Cfrac%20%7Bf%28x%29-f%28x_%7B1%7D%29%7D%7Bx-x_%7B1%7D%7D%EF%BC%9C%20%5Cfrac%20%7Bf%28x%29-f%28x_%7B2%7D%29%7D%7Bx-x_%7B2%7D%7D$ 成立．

难度：中等

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8．已知函数f（x）=e^x+ $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7B2%7D$ +ln（x+m）+n在点（0，f（0））处的切线方程为（e+1）x-ey+3e=0．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若当x≥0时，f（x）≥ $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7B2%7D$ +ax+3成立，求实数a的取值范围．

难度：较易

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9．如图，一个圆心角为直角的扇形AOB 花草房，半径为1，点P 是花草房弧上一个动点，不含端点，现打算在扇形BOP 内种花，PQ⊥OA，垂足为Q，PQ 将扇形AOP
分成左右两部分，在PQ 左侧部分三角形POQ 为观赏区，在PQ 右侧部分种草，已知种花的单位面积的造价为3a，种草的单位面积的造价为2a，其中a 为正常数，设∠AOP=θ，种花的造价与种草的造价的和称为总造价，不计观赏区的造价，设总造价为f（θ）
（1）求f（θ）关于θ 的函数关系式；
（2）求当θ 为何值时，总造价最小，并求出最小值．

难度：较易

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10．讨论g（x）fx）+ $%20%5Cfrac%20%7B4%7D%7B3%7Dx%5E%7B2%7D$ 单调性；
当k= $%20%5Cfrac%20%7B2%7D%7B3%7D$ 时，函数y=f（x）的图在x=的切线方；
若数（x）=xf（x）在定域内调递减，kZ，的最大值．

难度：中等

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