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          共50条信息

            • 1．
              已知函数\(f(x)=px- \dfrac {p}{x}-2\ln x\)．
              \((\)Ⅰ\()\)若\(p=2\)，求曲线\(f(x)\)在点\((1,f(1))\)处的切线方程；
              \((\)Ⅱ\()\)若函数\(f(x)\)在其定义域内为增函数，求正实数\(p\)的取值范围；
              \((\)Ⅲ\()\)设函数\(g(x)= \dfrac {2e}{x}\)，若在\([1,e]\)上至少存在一点\(x_{0}\)，使得\(f(x_{0}) > g(x_{0})\)成立，求实数\(p\)的取值范围．
              难度：中等
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            • 2．
              已知函数\(f(x)=\ln x+ax^{2}-3x\)，且\(x=1\)在处函数取得极值．
              \((1)\)求\(f(x)\)的单调区间；   
              \((2)\)若\(g(x)=x^{2}-2x-1(x > 0)\)
              \(①\)证明：\(g(x)\)的图象不能在\(y=f(x)\)图象的下方；
              \(②\)证明不等式\((2n+1)^{2} > 4\ln (n!)\)恒成立．
              难度：较易
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            • 3．
              设\(f(x)=ax-\ln (1+x^{2})\)，
              \((1)\)当\(a= \dfrac {4}{5}\)时，求\(f(x)\)在\((0,+∞)\)的极值；
              \((2)\)证明：当\(x > 0\)时，\(\ln (1+x^{2}) < x\)；
              \((3)\)证明：\((1+ \dfrac {1}{2^{4}})(1+ \dfrac {1}{3^{4}})…(1+ \dfrac {1}{n^{4}}) < e(n∈N^{*},n\geqslant 2,e\)为自然对数的底数\()\)
              难度：较易
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            • 4．
              已知函数\(f(x)=a\ln x+ \dfrac {a+1}{2}x^{2}+1\)．
              \((\)Ⅰ\()\)当\(a=- \dfrac {1}{2}\)时，求\(f(x)\)在区间\([ \dfrac {1}{e},e]\)上的最值；
              \((\)Ⅱ\()\)讨论函数\(f(x)\)的单调性；
              \((\)Ⅲ\()\)当\(-1 < a < 0\)时，有\(f(x) > 1+ \dfrac {a}{2}\ln (-a)\)恒成立，求\(a\)的取值范围．
              难度：较易
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            • 5．
              已知\(f(x)=-x+x\ln x+m\)，\(g(x)=- \dfrac {3e^{x}}{3+4x^{2}}\)，若任取\(x_{1}∈(0, \dfrac {3}{2})\)，都存在\(x_{2}∈(0, \dfrac {3}{2})\)，使得\(f(x_{1}) > g(x_{2})\)，则\(m\)的取值范围为 ______ ．
              难度：较易
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            • 6．
              已知\(a∈R\)，函数\(f(x)= \dfrac {2}{x}+a\ln x\)．
              \((\)Ⅰ\()\)若函数\(f(x)\)在\((0,2)\)上递减，求实数\(a\)的取值范围；
              \((\)Ⅱ\()\)当\(a > 0\)时，求\(f(x)\)的最小值\(g(a)\)的最大值；
              \((\)Ⅲ\()\)设\(h(x)=f(x)+|(a-2)x|\)，\(x∈[1,+∞)\)，求证：\(h(x)\geqslant 2\)．
              难度：较易
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            • 7．
              已知函数\(f(x)=x^{2}-ax+2\ln x(\)其中\(a\)是实数\()\)．
              \((1)\)求\(f(x)\)的单调区间；
              \((2)\)若设\(2(e+ \dfrac {1}{e}) < a < \dfrac {20}{3}\)，且\(f(x)\)有两个极值点\(x_{1}\)，\(x_{2}(x_{1} < x_{2})\)，求\(f(x_{1})-f(x_{2})\)取值范围\(.(\)其中\(e\)为自然对数的底数\()\)．
              难度：较易
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            • 8．
              若质点\(P\)的运动方程为\(S(t)=2t^{2}+t(S\)的单位为米，\(t\)的单位为秒\()\)，则当\(t=1\)时的瞬时速度为\((\)　　\()\)
              A．\(2\)米\(/\)秒
              B．\(3\)米\(/\)秒
              C．\(4\)米\(/\)秒
              D．\(5\)米\(/\)秒
              难度：中等
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            • 9．
              已知函数\(f(x)=e\ln x\)，\(g(x)=\ln x-x-1\)，\(h(x)= \dfrac {1}{2}x^{2}\)．
              \((\)Ⅰ\()\)求函数\(g(x)\)的极大值．
              \((\)Ⅱ\()\)求证：存在\(x_{0}∈(1,+∞)\)，使\(g(x_{0})=g( \dfrac {1}{2})\)；
              \((\)Ⅲ\()\)对于函数\(f(x)\)与\(h(x)\)定义域内的任意实数\(x\)，若存在常数\(k\)，\(b\)，使得\(f(x)\leqslant kx+b\)和\(h(x)\geqslant kx+b\)都成立，则称直线\(y=kx+b\)为函数\(f(x)\)与\(h(x)\)的分界线\(.\)试探究函数\(f(x)\)与\(h(x)\)是否存在“分界线”？若存在，请给予证明，并求出\(k\)，\(b\)的值；若不存在，请说明理由．
              难度：中等
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            • 10．
              已知函数\(f(x)=\ln x\)，\(g(x)=- \dfrac {a}{x}(a > 0)\)
              \((\)Ⅰ\()\)当\(a=1\)时，若曲线\(y=f(x)\)在点\(M(x_{0},f(x_{0}))\)处的切线与曲线\(y=g(x)\)在点\(P\) \((x_{0},g(x_{0}))\)处的切线平行，求实数\(x_{0}\)的值；
              \((\)Ⅱ\()\)若\(∀x∈(0,e]\)，都有\(f(x)\geqslant g(x)+ \dfrac {3}{2}\)，求实数\(a\)的取值范围．
              难度：较易
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