对于函数\(y=H(x)\)，若在其定义域内存在\(x_{0}\)，使得\(x_{0}·H(x_{0})=1\)成立，则称\(x_{0}\)为函数\(H(x)\)的“倒数点”\(.\)已知函数\(f(x)=\ln x\)，\(g(x)= \dfrac{1}{2}(x+1)^{2}-1\)．

\((1)\)求证：函数\(f(x)\)有“倒数点”，并讨论函数\(f(x)\)的“倒数点”的个数；

\((2)\)若当\(x\geqslant 1\)时，不等式\(xf(x)\leqslant m[g(x)-x]\)恒成立，试求实数\(m\)的取值范围．

设\(f(x)= \dfrac{a}{x}+x\ln x\)，\(g(x)=x^{3}-x^{2}-3\)．

\((1)\)如果存在\(x_{1}\)，\(x_{2}∈[0,2]\)使得\(g(x_{1})-g(x_{2})\geqslant M\)成立，求满足上述条件的最大整数\(M\)；

\((2)\)如果对于任意的\(s\)，\(t∈\left[ \left. \dfrac{1}{2},2 \right. \right]\)，都有\(f(s)\geqslant g(t)\)成立，求实数\(a\)的取值范围．

已知函数\(f(x)=x^{2}-ax+2\ln x(\)其中\(a\)是实数\()\)．

\((\)Ⅰ\()\)求\(f(x)\)的单调区间；

\((\)Ⅱ\()\)若设\({2}({e}+\dfrac{{1}}{{e}}) < a < \dfrac{{2}0}{{3}}\)，且\(f(x)\)，有两个极值点\(x_{1}\)，\(x_{2}(x_{1} < x_{2})\)，求\(f(x_{1})-f(x_{2})\)取值范围\(.(\)其中\(e\)为自然对数的底数\()\)．

已知函数\(f(x)=\dfrac{a\ln x}{x+1}+\dfrac{b}{x}\)，曲线\(y=f(x)\)在点\((1,f(1))\)处的切线方程为\(x+2y-3=0\)．

\((I)\)求\(a\)，\(b\)的值；

\((II)\)证明：当\(x > 0\)，且\(x\ne 1\)时，\(f(x) > \dfrac{\ln x}{x-1}\)．

定义在\(R\)上的函数\(f(x)\)满足\(f(x)=\dfrac{{f}{{'}}(1)}{2}\cdot e{{2}^{x-2}}+{{x}^{2}}-2f(0)x\)，\(g(x)=f(\dfrac{x}{2})-\dfrac{1}{4}{{x}^{2}}+(1-a)x+a\)．

\((\)Ⅰ\()\)求函数\(f(x)\)的解析式；

已知函数\(f\)\((\)\(x\)\()= \dfrac{a\ln x}{x+1} + \dfrac{b}{x} \)，曲线\(y\)\(=\)\(f\)\((\)\(x\)\()\)在点\((1,\)\(f\)\((1))\)处的切线方程为\(x\)\(+2\)\(y\)\(-3=0\)．

\((1)\)求\(a\)，\(b\)的值；

\((2)\)证明：当\(x\)\( > 0\)且\(x\)\(\neq 1\)时，\(f\)\((\)\(x\)\() > \dfrac{\ln x}{x-1} \)．

设\(f(x)={{e}^{x}}(x-\dfrac{a-1}{x}),g(x)=a\ln x,(e=2.71828.....)\)．

\((I)\)当\(a > 1\)时，讨论函数\(F\left( x \right)=\dfrac{f\left( x \right)}{{{e}^{x}}}-g\left( x \right)\)的单调性；

\((II)\)求证：当\(a=0\)时，不等式\(f\left( x \right) > 2\sqrt{e}\)对任意\(x\in \left( 0,+\infty \right)\)都成立．