知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知函数f（x）=alnx+ $%20%5Cfrac%20%7Ba%2B1%7D%7B2%7Dx%5E%7B2%7D$ +1．
（1）当a=- $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ 时，求f（x）在区间 $%5B%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Be%7D%EF%BC%8Ce%5D$ 上的最大值与最小值；
（2）讨论函数f（x）的单调性；
（3）当-1＜a＜0时，任意x＞0有f（x）＞1+ $%20%5Cfrac%20%7Ba%7D%7B2%7Dln%28-a%29$ 恒成立，求a的取值范围．

难度：中等

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2．已知函数f（x）=e^x（e^x-a）-a²x．
（1）讨论 f（x）的单调性；
（2）若f（x）≥0，求a的取值范围．

难度：较易

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3．已知f（x）=lnx-ax，（a∈R），g（x）=-x²+2x+1．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若对任意的x₁∈[1，e]，总存在x₂∈[0，3]，使f（x₁）=g（x₂），求实数a的取值范围．

难度：较易

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4．已知函数f（x）=e^x-kx，x∈R，k为常数，e是自然对数的底数．
（Ⅰ）当k=e时，证明f（x）≥0恒成立；
（Ⅱ）若k＞0，且对于任意x≥0，f（x）＞0恒成立，试确定实数k的取值范围．

难度：较易

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5．已知函数f（x）=2lnx+ $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Bx%7D$ -mx（m∈R）．
（Ⅰ）当m=-1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）若f（x）在（0，+∞）上为单调递减，求m的取值范围；
（Ⅲ）设0＜a＜b，求证： $%20%5Cfrac%20%7Blnb-lna%7D%7Bb-a%7D%EF%BC%9C%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B%20%5Csqrt%20%7Bab%7D%7D$ ．

难度：较易

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6．设f（x）=ln x，g（x）=f（x）+f′（x），求g（x）的单调区间和最小值．

难度：较易

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7．设f（x）=e^x-a（x+1）．
（1）若a＞0，f（x）≥0对一切x∈R恒成立，求a的最大值；
（2）设 $g%28x%29%3Df%28x%29%2B%20%5Cfrac%20%7Ba%7D%7Be%5E%7Bx%7D%7D%EF%BC%8CA%28x_%7B1%7D%EF%BC%8Cy_%7B1%7D%29%EF%BC%8CB%28x_%7B2%7D%EF%BC%8Cy_%7B2%7D%29%28x_%7B1%7D%E2%89%A0x_%7B2%7D%29$ 是曲线y=g（x）上任意两点，若对任意的a≤-1，直线AB的斜率恒大于常数m，求m的取值范围；
（3）是否存在正整数a．使得 $1%5E%7Bn%7D%2B3%5E%7Bn%7D%2B%E2%80%A6%2B%282n-1%29%5E%7Bn%7D%EF%BC%9C%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7Be%7D%7D%7Be-1%7D%28an%29%5E%7Bn%7D$ 对一切正整数n都成立？若存在，求a的最小值；若不存在，请说明理由．

难度：较难

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8．已知函数f（x）=lnx-ax．其中a为非零常数．
（1）求a=1时，f（x）的单调区间；
（2）设b∈R，若f（x）≤b-a对x＞0恒成立，求 $%20%5Cfrac%20%7Bb%7D%7Ba%7D$ 的最小值．

难度：较易

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9．已知 $f%28x%29%3D-%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7Dax%5E%7B2%7D%2Bx-ln%281%2Bx%29$ ，其中a＞0．
（Ⅰ）若函数f（x）在x=3处取得极值，求a的值；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间；
（Ⅲ）若f（x）在[0，+∞）上的最大值是0，求a的取值范围．

难度：中等

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10．已知函数f（x）= $%20%5Cfrac%20%7B1-x%7D%7Bax%7D$ +lnx在（1，+∞）上是增函数，且a＞0．
（1）求a的取值范围；
（2）求函数g（x）=ln（1+x）-x在[0，+∞）上的最大值．

难度：较易

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