知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知函数f（x）= $%20%5Cfrac%20%7Ba%2Bblnx%7D%7Bx-1%7D$ （a，b∈R）在点（2，f （2））处切线的斜率为- $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ -ln 2，且函数过点（4， $%20%5Cfrac%20%7B1%2B2ln2%7D%7B3%7D$ ）．
（Ⅰ）求a、b 的值及函数 f （x）的单调区间；
（Ⅱ）若g（x）= $%20%5Cfrac%20%7Bk%7D%7Bx%7D$ （k∈N^*），对任意的实数x₀＞1，都存在实数x₁，x₂满足0＜x₁＜x₂＜x₀，使得f（x₀）=f（x₁）=f（x₂），求k 的最大值．

难度：较易

解析收藏试题篮
2．已知函数 $f%28x%29%3D%20%5Cfrac%20%7Blnx%7D%7Bx%7D%EF%BC%8Cg%28x%29%3Dx%28lnx-%20%5Cfrac%20%7Bax%7D%7B2%7D-1%29$ ．
（1）求y=f（x）的最大值；
（2）当 $a%E2%88%88%5B0%EF%BC%8C%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Be%7D%5D$ 时，函数y=g（x），（x∈（0，e]）有最小值．记g（x）的最小值为h（a），求函
数h（a）的值域．

难度：中等

解析收藏试题篮
3．已知函数 $f%28x%29%3D%20%5Cfrac%20%7Bx-1%7D%7Bx%7D-lnx$
（1）求f（x）的单调区间；
（2）求函数f（x）在 $%5B%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Be%7D%EF%BC%8Ce%5D$ 上的最大值和最小值；
（3）求证： $ln%20%5Cfrac%20%7Be%5E%7B2%7D%7D%7Bx%7D%E2%89%A4%20%5Cfrac%20%7B1%2Bx%7D%7Bx%7D$ ．

难度：较易

解析收藏试题篮
4．已知函数f（x）=lnx- $%20%5Cfrac%20%7Bax-1%7D%7Bx%7D$
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）证明： $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D%2B%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B3%7D%2B%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B4%7D$ +…+ $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Bn%2B1%7D$ ＜ln（n+1）＜1+ $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D%2B%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B3%7D$ +…+ $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Bn%7D$ （n∈N^*）

难度：较易

解析收藏试题篮
5．已知函数 $f%28x%29%3D2ax-%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Bx%7D-%28a%2B2%29lnx%28a%E2%89%A50%29$ ．
（Ⅰ）当a=0时，求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）当a＞0时，讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅲ）当a=1时，若对于任意的x₁，x₂∈[1，4]，都有 $%7Cf%28x_%7B1%7D%29-f%28x_%7B2%7D%29%7C%EF%BC%9C%20%5Cfrac%20%7B27%7D%7B4%7D-2mln2$ 成立，求实数m的取值范围．

难度：中等

解析收藏试题篮
6．设函数 $f%28x%29%3Dx%5E%7B2%7D%2B%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Bx%2B1%7D%EF%BC%8Cx%E2%88%88%5B0%EF%BC%8C1%5D$ ．
（1）证明： $f%28x%29%E2%89%A5x%5E%7B2%7D-%20%5Cfrac%20%7B4%7D%7B9%7Dx%2B%20%5Cfrac%20%7B8%7D%7B9%7D$ ；
（2）证明： $%20%5Cfrac%20%7B68%7D%7B81%7D%EF%BC%9Cf%28x%29%E2%89%A4%20%5Cfrac%20%7B3%7D%7B2%7D$ ．

难度：中等

解析收藏试题篮
7．设函数f（x）=xlnx，则点（1，0）处的切线方程是 ______ ；函数f（x）=xlnx的最小值为 ______ ．

难度：较易

解析收藏试题篮
8．已知函数f（x）= $%20%5Cfrac%20%7B1%2Blnx%7D%7Bx%7D$ ．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若g（x）=xf（x）+mx在区间（0，e]上的最大值为-3，求m的值；
（3）若x≥1时，有不等式f（x）≥ $%20%5Cfrac%20%7Bk%7D%7Bx%2B1%7D$ 恒成立，求实数k的取值范围．

难度：较易

解析收藏试题篮
9．设函数f（x）=ln（x+1）+a（x²-x），其中a∈R．
（1）当a=0时，求证：f（x）＜x，对任意的x∈（0，+∞）成立；
（2）讨论函数f（x）极值点的个数，并说明理由；
（3）若∀x＞0，f（x）≥0成立，求a的取值范围．

难度：中等

解析收藏试题篮
10．设函数f（x）=（1+x）²-2ln（1+x）．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若当 $x%E2%88%88%5B%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Be%7D-1%EF%BC%8Ce-1%5D$ 时，（其中e=2.718…）不等式f（x）＜m恒成立，
求实数m的取值范围；
（3）试讨论关于x的方程：f（x）=x²+x+a在区间[0，2]上的根的个数．

难度：中等

解析收藏试题篮

0/40

进入组卷