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          共50条信息

            • 1． 某地政府为科技兴市，欲将如图所示的一块不规则的非农业用地\(AOCB\)规划建成一个矩形的高科技工业园区\(.\)已知\(AB⊥BC\)，\(OA/\!/BC\)，\(AB=BC=2AO=4km\)，曲线段\(OC\)是以点\(O\)为顶点且开口向上的抛物线的一段\(.\)如果要使矩形的相邻两边分别落在\(AB\)，\(BC\)上，且一个顶点\(P\)落在曲线段\(OC\)上，问应如何规划才能使矩形工业园区的用地面积最大？并求出最大的用地面积\((\)精确到\(0.1km^{2})\)

              难度：难
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            • 2．
              若不等式\(2x\ln x\geqslant -x^{2}+ax-3\)对\(x∈(0,+∞)\)恒成立，则实数\(a\)的取值范围是\((\)　　\()\)
              A．\((-∞,0)\)
              B．\((0,+∞)\)
              C．\((-∞,4]\)
              D．\([4,+∞)\)
              难度：较难
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            • 3．
              已知函数\(f(x)=\ln x-ax-b\)，若\(f(x)\leqslant 0\)对任意\(x > 0\)恒成立，则\(a+b\)的最小值为\((\)　　\()\)
              A．\(- \dfrac {1}{e}\)
              B．\(0\)
              C．\(1\)
              D．\( \dfrac {2}{e}\)
              难度：较易
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            • 4．
              已知函数\(f(x)=x^{2}e^{x}\)，\(g(x)=2x^{3}\)．
              \((\)Ⅰ\()\)求函数\(f(x)\)的单调区间；
              \((\)Ⅱ\()\)求证：\(∀x∈R\)，\(f(x)\geqslant g(x)\)．
              难度：较易
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            • 5．
              已知函数\(f(x)=\ln x-ax(a∈R)\)有两个不同的零点．
              \((\)Ⅰ\()\)求\(a\)的取值范围；
              \((\)Ⅱ\()\)记两个零点分别为\(x_{1}\)，\(x_{2}\)，且\(x_{1} < x_{2}\)，已知\(λ > 0\)，若不等式\(1+λ < \ln x_{1}+λ\ln x_{2}\)恒成立，求\(λ\)的取值范围．
              难度：中等
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            • 6．
              对任意的\(x\)，\(y∈(0,+∞)\)，不等式\(e^{x+y-4}+e^{x-y+4}+6\geqslant 4x\ln a\)恒成立，则正实数\(a\)的最大值是\((\)　　\()\)
              A．\( \sqrt {e}\)
              B．\( \dfrac {1}{2}e\)
              C．\(e\)
              D．\(2e\)
              难度：较易
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            • 7．

              已知函数\(f\)\((\)\(x\)\()=\)\(ax\)\({\,\!}^{2}-(2\)\(a\)\(+1)\)\(x\)\(+2\ln \) \(x\)\((\)\(a\)\(∈R)\)．

              \((1)\)若曲线\(y\)\(=\)\(f\)\((\)\(x\)\()\)在\(x\)\(=1\)和\(x\)\(=3\)处的切线互相平行，求\(a\)的值；

              \((2)\)求\(f\)\((\)\(x\)\()\)的单调区间；

              \((3)\)设\(g\)\((\)\(x\)\()=\)\(x\)\({\,\!}^{2}-2\)\(x\)，若对任意\(x\)\({\,\!}_{1}∈(0,2]\)，均存在\(x\)\({\,\!}_{2}∈(0,2]\)，使得\(f\)\((\)\(x\)\({\,\!}_{1}) < \)\(g\)\((\)\(x\)\({\,\!}_{2})\)，求\(a\)的取值范围．

              难度：难
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            • 8． 已知函数\(f(x)=ax^{2}+bx-\ln x(a,b∈R)\)
              \((\)Ⅰ\()\)设\(a\geqslant 0\)，求\(f(x)\)的单调区间
              \((\)Ⅱ\()\) 设\(a > 0\)，且对于任意\(x > 0\)，\(f(x)\geqslant f(1).\)试比较\(\ln a\)与\(-2b\)的大小．
              难度：难
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            • 9． 已知函数\(f(x)=a- \dfrac {1}{x}-\ln x\)，其中\(a\)为常数．
              \((\)Ⅰ\()\)若\(f(x)=0\)恰有一个解，求\(a\)的值；
              \((\)Ⅱ\()(i)\)若函数\(g(x)=a- \dfrac {1}{x}- \dfrac {2(x-p)}{x+p}-f(x)-\ln p\)，其中\(p\)为常数，试判断函数\(g(x)\)的单调性；
              \((ii)\)若\(f(x)\)恰有两个零点\(x_{1}\)，\(x_{2}(x_{1} < x_{2})\)，求证：\(x_{1}+x_{2} < 3e^{a-1}-1\)．
              难度：中等
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            • 10． 设\(a\)为实数，函数\(f(x)=e^{x}-x+a\)，\(x∈R\)．
              \((1)\)求\(f(x)\)在区间\([-1,2]\)上的最值；
              \((2)\)求证：当\(a > -1\)，且\(x > 0\)时，\(e^{x} > \dfrac {1}{2}x^{2}-ax+1\)．
              难度：较易
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