知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
已知函数\(f(x)=\ln \dfrac {1}{2x}-ax^{2}+x\)．
\((\)Ⅰ\()\)当\(a > 0\)时，讨论函数\(f(x)\)的极值点的个数；
\((\)Ⅱ\()\)若\(f(x)\)有两个极值点\(x_{1}\)，\(x_{2}\)，证明：\(f(x_{1})+f(x_{2}) > 3-4\ln 2\)．

难度：较易

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2．
已知函数\(f(x)=p\ln x+(p-1)x^{2}+1\)
\((1)\)讨论函数\(f(x)\)的单调性；
\((2)\)当\(p=1\)时，若对\(∀x > 0\)，\(f(x+1)+ \dfrac {a}{x+2} > 2\)恒成立，求实数\(a\)的取值范围；
\((3)\)求证：\( \dfrac {1}{3}+ \dfrac {1}{5}+ \dfrac {1}{7}+…+ \dfrac {1}{2n+1} < \ln (n+1)(n∈N^{*})\)

难度：中等

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3．

若\(f(x)=x^{2}-2x-4\ln x\)，则\(f′(x) < 0\)的解集\((\)　　\()\)

A．\((0,+∞)\)

B．\((0,2)\)

C．\((0,2)∪(-∞,-1)\)

D．\((2,+∞)\)

难度：较易

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4．
已知函数\(f(x)=x^{3}-ax^{2}+bx+c(a,b,c∈R)\)．
\((1)\)若函数\(f(x)\)在\(x=-1\)和\(x=3\)处取得极值，试求\(a\)，\(b\)的值；
\((2)\)在\((1)\)的条件下，当\(x∈[-2,6]\)时，\(f(x) < 2|c|\)恒成立，求\(c\)的取值范围．

难度：较易

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5．
设函数\(f(x)=a\ln x+ \dfrac {2a^{2}}{x}(a\neq 0)\)．
\((1)\)已知曲线\(y=f(x)\)在点\((1,f(1))\)处的切线\(l\)的斜率为\(2-3a\)，求实数\(a\)的值；
\((2)\)讨论函数\(f(x)\)的单调性；
\((3)\)在\((1)\)的条件下，求证：对于定义域内的任意一个\(x\)，都有\(f(x)\geqslant 3-x\)．

难度：较易

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6．
已知函数\(f(x)= \dfrac {1}{3}x^{3}+x^{2}+ax\)，若\(g(x)= \dfrac {1}{e^{x}}\)，对任意\(x_{1}∈[ \dfrac {1}{2},2]\)，存在\(x_{2}∈[ \dfrac {1}{2},2]\)，使\(f′(x_{1}) > g(x_{2})\)成立，则实数\(a\)的取值范围是 ______ ．

难度：较易

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7．
已知函数\(f(x)=(1-x)e^{x}-1\)．
\((\)Ⅰ\()\)求函数\(f(x)\)的最大值；
\((\)Ⅱ\()\)设\(g(x)= \dfrac {f(x)}{x}\)，\(x > -1\)且\(x\neq 0\)，证明：\(g(x) < 1\)．

难度：中等

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8．
已知函数\(f(x)=ax^{3}-6ax^{2}+b(x∈[-1,2])\)的最大值为\(3\)，最小值为\(-29\)，求\(a\)、\(b\)的值．

难度：较易

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9．
已知函数\(f(x)=\ln x- \dfrac {1}{4}x+ \dfrac {3}{4x}-1\)．
\((1)\)求函数\(f(x)\)的单调递减区间；
\((2)\)设\(g(x)=-x^{2}+2bx-4\)，\((1\leqslant b\leqslant 2)\)，若对任意\(x_{1}∈(0,2)\)，\(x_{2}∈[1,2]\)，不等式\(f(x_{1})\geqslant g(x_{2})\)恒成立，求实数\(b\)的取值范围．

难度：较易

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10．
已知函数\(f(x)=a\ln x+ \dfrac {a+1}{2}x^{2}+1\)．
\((1)\)当\(a=- \dfrac {1}{2}\)时，求\(f(x)\)在区间\([ \dfrac {1}{e},e]\)上的最大值与最小值；
\((2)\)讨论函数\(f(x)\)的单调性；
\((3)\)当\(-1 < a < 0\)时，任意\(x > 0\)有\(f(x) > 1+ \dfrac {a}{2}\ln (-a)\)恒成立，求\(a\)的取值范围．

难度：中等

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