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          共50条信息

            • 1．
              已知函数\(f(x)= \dfrac {1}{3}x^{3}+bx^{2}+cx-3\)，\(y=f′(x)\)为\(f(x)\)的导函数，满足\(f′(2-x)=f′(x)\)；\(f′(x)=0\)有解，但解却不是函数\(f(x)\)的极值点．
              \((1)\)求\(f(x)\)；
              \((2)\)设\(g(x)=x \sqrt {f′(x)}\)，\(m > 0\)，求函数\(g(x)\)在\([0,m]\)上的最大值；
              \((3)\)设\(h(x)=\ln f′(x)\)，若对于一切\(x∈[0,1]\)，不等式\(h(x+1-t) < h(2x+2)\)恒成立，求实数\(t\)的取值范围．
              难度：中等
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            • 2．

              已知函数\(f(x) =\ln \)\(x\)\(+\)\(ax\)\({\,\!}^{2}+(2\)\(a\)\(+1)\)\(x\)．

              \((1)\)讨论\(f(x)\)的单调性；

              \((2)\)当\(a\)\(﹤0\)时，证明\(f(x)\leqslant -\dfrac{3}{4a}-2\)．

              难度：难
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            • 3．

              已知函数\(f(x)=(x^{2}-3x+3)·e^{x}\)的定义域为\([-2,t]\)．

               \((1)\)试确定\(t\)的取值范围，使得函数\(f(x)\)在\([-2,t]\)上为单调函数；

               \((2)\)求证：对于任意的\(t > -2\)，总存在\(x_{0}∈(-2,t)\) 满足\( \dfrac{f{{'}}({x}_{0})}{{e}^{{x}_{0}}}= \dfrac{2}{3}(t-1{)}^{2} \)；又若方程\( \dfrac{f{{'}}({x}_{0})}{{e}^{{x}_{0}}}= \dfrac{2}{3}(t-1{)}^{2} \)在 \((-2,t)\)上有唯一解，请确定 \(t\)的取值范围。

              难度：难
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            • 4． 已知函数\(f(x)=\ln x+2x\)
              \((1)\)判断\(f(x)\)的单调性并用定义证明；
              \((2)\)设\(g(x)=\ln \dfrac {x+2}{x-2}\)，若对任意\(x_{1}∈(0,1)\)，存在\(x_{2}∈(k,k+1)(k∈N)\)，使\(f(x_{1}) < g(x_{2})\)，求实数\(k\)的最大值．
              难度：中等
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            • 5．

              已知函数\(f(x)=\ln x-x^{2}=x\)．

              \((1)\)求函数\(f(x)\)的单调区间；

              \((2)\)证明：当\(a\geqslant 2\)时，关于\(x\)的不等式\(f(x) < ( \dfrac{a}{2}-1){x}^{2}+ax-1 \)恒成立；

              \((3)\)若正实数\(x_{1}\)，\(x_{2}\)满足\(f({x}_{1})+f({x}_{2})+2(x_{1}^{2}+x_{2}^{2})+{x}_{1}{x}_{2}=0 \)，证明\({x}_{1}+{x}_{2}\geqslant \dfrac{ \sqrt{5}-1}{2} \)．

              难度：难
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            • 6． 如图所示，抛物线\(y=1-x^{2}\)与\(x\)轴所围成的区域是一块等待开垦的土地，现计划在该区域内围出一块矩形地块\(ABCD\)作为工业用地，其中\(A\)、\(B\)在抛物线上，\(C\)、\(D\)在\(x\)轴上\(.\)已知工业用地每单位面积价值为\(3a\)元\((a > 0)\)，其它的三个边角地块每单位面积价值\(a\)元．
              \((\)Ⅰ\()\)求等待开垦土地的面积；
              \((\)Ⅱ\()\)如何确定点\(C\)的位置，才能使得整块土地总价值最大．
              难度：较难
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            • 7． 如图是一块镀锌铁皮的边角料\(ABCD\)，其中\(AB\)、\(CD\)、\(DA\)都是线段，曲线段\(BC\)是抛物线的一部分，且点\(B\)是该抛物线的顶点，\(BA\)所在直线是该抛物线的对称轴，经测量，\(AB=2\)米，\(AD=3\)米，\(AB⊥AD\)，点\(C\)到\(AD\)、\(AB\)的距离\(CH\)、\(CR\)的长均为\(1\)米，现要用这块边角料截一个矩形\(AEFG(\)其中点\(F\)在曲线段\(BC\)或线段\(CD\)上，点\(E\)在线段\(AD\)上，点\(G\)在线段\(AB\)上\().\)设\(BG\)的长为\(x\)米，矩形\(AEFG\)的面积为\(S\)平方米．
              \((1)\)将\(S\)表示为\(x\)的函数；
              \((2)\)当\(x\)为多少米时，\(S\)取得最大值，最大值是多少？
              难度：较易
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            • 8．

              如果圆柱截面的周长\(l\)为定值，则体积的最大值为(    )

              A．\({{(\dfrac{l}{6})}^{3}}{ }\!\!\pi\!\!{ }\)
              B．\({{(\dfrac{l}{3})}^{3}}{ }\!\!\pi\!\!{ }\)
              C．\({{(\dfrac{l}{4})}^{3}}{ }\!\!\pi\!\!{ }\)
              D．\(\dfrac{1}{4}{{(\dfrac{l}{4})}^{3}}{ }\!\!\pi\!\!{ }\)
              难度：中等
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            • 9． 已知函数\(f(x)=\ln (x+1)- \dfrac {ax}{x+1}-x\)，\(a∈R\)．
              \((\)Ⅰ\()\)当\(a > 0\)时，求函数\(f(x)\)的单调区间；
              \((\)Ⅱ\()\)若存在\(x > 0\)，使\(f(x)+x+1 < - \dfrac {x}{x+1}(a∈Z)\)成立，求\(a\)的最小值．
              难度：难
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            • 10．
              已知函数\(f(x)= \dfrac {a+b\ln x}{x+1}\)在点\((1,f(1))\)处的切线方程为\(x+y=2\)．
              \((\)Ⅰ\()\)求\(a\)，\(b\)的值；
              \((\)Ⅱ\()\)若对函数\(f(x)\)定义域内的任一个实数\(x\)，都有\(xf(x) < m\)恒成立，求实数\(m\)的取值范围．
              \((\)Ⅲ\()\) 求证：对一切\(x∈(0,+∞)\)，都有\(3-(x+1)⋅f(x) > \dfrac {1}{e^{x}}- \dfrac {2}{ex}\)成立．
              难度：较易
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