知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知函数f（x）=lnx+
a
x
（a＞0）．
（Ⅰ）求函数f（x）在[1，+∞）上的最小值；
（Ⅱ）若存在三个不同的实数x_i（i=1，2，3）满足f（x）=ax．
（i）证明：∀a∈（0，1），f（
a2
2
）＞
a3
2
；
（ii）求实数a的取值范围及x₁•x₂•x₃的值．

难度：较难

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2．设函数f（x）=lnx+
m
x
，m∈R
（1）当m=e（e为自然对数的底数）时，求f（x）的最小值；
（2）记g（x）=f′（x）-
x
3
+m，试讨论是否存在x₀∈（0，
3
）∪（
3
，+∞），使得g（x₀）=f（1）成立．

难度：较难

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3． f（x）=e^x-
a
2
x²-x-1（其中a∈R，e为自然数的底数），g（x）=f′（x）为f（x）的导函数．
（1）求函数g（x）的单调区间；
（2）若函数g（x）在R上存在最小值，且最小值为0，求实数a的值；
（3）求证：当x≥0时，e^x-x-1≥
1
2
xsinx．

难度：较难

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4． 2015年国庆长假期间，各旅游景区人数发生“井喷”现象，给旅游区的管理提出了严峻的考验，国庆后，某旅游区管理部门对该区景点进一步改造升级，提高旅游增加值，经过市场调查，旅游增加值y万元与投入x万元之间满足：y=
27
50
x-ax²-ln
x
10
，x∈（2，t]，当x=10时，y=
22
5
．
（1）求y=f（x）的解析式；
（2）求旅游增加值y取得最大值时对应的x值．

难度：较难

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5．已知函数f（x）=lnx-
(x-1)2
2
，g（x）=x-1．
（1）求函数f（x）的单调递减区间；
（2）若关于x的方程f（x）-g（x）+a=0在区间（
1
e
，e）上有两个不等的根，求实数a的取值范围；
（3）若存在x₀＞1，当x∈（1，x₀）时，恒有f（x）＞kg（x），求实数k的取值范围．

难度：较难

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6．（2015秋•朔州校级期中）某市政府欲在如图所示的矩形ABCD的非农业用地中规划出一个休闲娱乐公园（如图中阴影部分），形状为直角梯形OPRE（线段EO和RP为两条底边），已知AB=2km，BC=6km，AE=BF=4km，其中曲线AF是以A为顶点、AD为对称轴的抛物线的一部分．
（1）以A为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系，求曲线AF所在抛物线的方程；
（2）求该公园的最大面积．

难度：中等

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7．已知函数f（x）=2^x-
1
2x
．
（Ⅰ）若2′f（2t）+mf（t）≥0对于任意实数t∈[1，2]恒成立，求实数m的取值范围；
（Ⅱ）若g（x）=2^2x+2^-2x-2mf（x）在[1，+∞）上的最小值为-2，求m的值．

难度：中等

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8．已知函数f（x）=
ln(ex)
x
，g（x）=
3
8
x²-2x+1+xf（x）．
（1）证明f（x）≤1在其定义域内恒成立；
（2）若函数y=g（x）在[e^t，+∞）（t∈Z）上有零点，求t的最大值．

难度：中等

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9．已知函数f（x）=e^x+ax
（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（0，1）处的切线方程；
（2）若函数f（x）在区间[1，+∞）上的最小值为0，求a的值；
（3）若对于任意x≥0，f（x）≥e^-x恒成立，求a的取值范围．

难度：中等

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10．已知函数f（x）=xlnx．
（I）记函数g（x）=
ax2
2
，若∃x₀∈[1，e]使f（x₀）＜g（x₀）成立，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）记函数h（x）=（k-3）x-k+2，若x＞1时f（x）＞h（x）恒成立，求整数k的最大值．

难度：中等

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