知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．某个体户计划经销A，B两种商品，据调查统计，当投资额为x（x≥0）万元时，在经销A，B商品中所获得的收益分别为f（x）万元与g（x）万元，其中f（x）=a（x-1）+2，g（x）=6ln（x+b），（a＞0，b＞0）已知投资额为零时，收益为零．
（1）求a、b的值；
（2）如果该个体户准备投入5万元经销这两种商品，请你帮他制定一个资金投入方案，使他能获得最大利润．

难度：中等

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2．设a∈R，函数f（x）=
x-a
(x+a)2
．
（1）若函数f（x）在（0，f（0））处的切线与直线y=3x-2平行，求a的值；
（2）若对于定义域内的任意x₁，总存在x₂使得f（x₂）＜f（x₁），求a的取值范围．

难度：中等

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3．（2015秋•启东市期末）如图，某景区有一座高AD为1千米的山，山顶A处可供游客观赏日出．坡角∠ACD=30°，在山脚有一条长为10千米的小路BC，且BC与CD垂直，为方便游客，该景区拟在小路BC上找一点M，建造两条直线型公路BM和MA，其中公路BM每千米的造价为30万元，公路MA每千米的造价为60万元．
（1）设∠AMC=θ，求出造价y关于θ的函数关系式；
（2）当BM长为多少米时，才能使造价y最低？

难度：中等

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4．已知函数f（x）=x-（1+a）lnx在x=1时存在极值．
（Ⅰ）求实数a的值及函数f（x）的单调递减区间；
（Ⅱ）证明：当x＞1时，
f(x)-1
x-1
＜
1
2
lnx．

难度：中等

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5．已知函数f（x）=lnx-
1
2
ax²-bx（a∈R，b∈R）．
（1）当b=1时，若y=f（x）存在单调递减区间，求a的取值范围；
（2）若函数y=f（x）有两个不同的零点x₁，x₂，求证：f′（
x1+x2
2
）＜0．

难度：中等

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6．已知圆柱形罐头盒的容积是V（定数），问它的高与底面半径多大时罐头盒的表面积最小？

难度：中等

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7．已知函数f（x）=2lnx+
ax
x+1
．
（1）当a=-9时，求f（x）的单调区间；
（2）设函数f（x）有两个极值点x₁，x₂，求证：
f(x1)+f(x2)
x+1
≥
f(x)-2x+2
x
．

难度：较难

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8．要做一个容积为250πm³的无盖圆柱体蓄水池，已知池底单位造价为池壁单位造价的两倍，问蓄水池的尺寸应怎样设计才能使总造价最低？

难度：中等

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9．已知f（x）=x²+lnx-bx．
（1）若函数f（x）在其定义域内是增函数，求b的取值范围；
（2）若g（x）=2x²-f（x）的图象与x轴交于A，B两点，其横坐标分别是x₁，x₂，且x₁＜x₂，A，B中点为（x₀，0），求证：g′（x₀）＞0．

难度：中等

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10．已知函数f（x）=log
1
2
1-ax
x-1
为奇函数，a为实常数．
（1）求a的值；
（2）证明f（x）在（1，+∞）上单调增；
（3）试问：是否存在实数m，使得不等式f（x+t）＞（
1
2
）^x+m对任意t＞0及x∈[3，4]恒成立，若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．

难度：中等

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