已知等比数列\(\left\{ \mathbf{a}_{\mathbf{n}} \right\}\)的公比\(\mathbf{q}{ > }0\)，其前\(\mathbf{n}\)项和为\(\mathbf{S}_{\mathbf{n}}\)，若\(\mathbf{a}_{\mathbf{1}}\mathbf{{=}1}\)，\(\mathbf{4}\mathbf{a}_{\mathbf{3}}\mathbf{{=}}\mathbf{a}_{\mathbf{2}}\mathbf{a}_{\mathbf{4}}\)．

\((1)\)求公比\(\mathbf{q}\)和\(\mathbf{a}_{\mathbf{5}}\)的值；

\((2)\)求证：\(\dfrac{\mathbf{S}_{\mathbf{n}}}{\mathbf{a}_{\mathbf{n}}}\mathbf{{ < }}2\)．

设等比数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)的前\(n\)项和\({{S}_{n}}\)，已知\({{a}_{1}}{{a}_{2}}{{a}_{3}}=8\)，\({{S}_{2n}}=3\left( {{a}_{1}}+{{a}_{3}}+ \right.\left. {{a}_{5}}+\cdots {{a}_{2n-1}} \right)\)．

\((\)Ⅰ\()\)求数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)的通项公式；

\((\)Ⅱ\()\)设\({{b}_{n}}=n{{S}_{n}}\)，求数列\(\left\{ {{b}_{n}} \right\}\)的前\(n\)项和\({{T}_{n}}\)．

已知正项等比数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)的前\(n\)项和为\({{S}_{n}}\)，且\({{a}_{1}}{{a}_{6}}=2{{a}_{3}}\)，\({{a}_{4}}\)与\({{a}_{6}}\)的等差中项为\(5\)，则\({{S}_{5}}=\)(    )

公差不为零的等差数列\(\{{{a}_{n}}\}\)中，\({{a}_{3}}=7\)，又\({{a}_{2}},{{a}_{4}},{{a}_{9}}\)成等比数列．

\((1)\)求数列\(\{{{a}_{n}}\}\)的通项公式．

\((2)\)设\({{b}_{n}}={{2}^{{{a}_{n}}}}\)，求数列\(\{{{b}_{n}}\}\)的前\(n\)项和\({{S}_{n}}\)．

已知等比数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(S_{n}\)，若\(S_{3}=7\)，\(S_{6}=63\)，则数列\(\{na_{n}\}\)的前\(n\)项和为

已知等比数列\(\{{{a}_{n}}\}\)的前\(n\)项和记为\({{S}_{n}},\)  \(a\)\({\,\!}_{3}=3\) ， \(a\)\({\,\!}_{10}=384\)．求该数列的公比\(q\)和通项公式\(S\)\({\,\!}_{n}\)

在等比数列\(\;\{\;{a}_{n}\;\}\; \)中，已知\({{a}_{1}}=1,\dfrac{{{a}_{5}}+{{a}_{7}}}{{{a}_{2}}+{{a}_{4}}}=\dfrac{1}{8}\)，则\({{S}_{5}}\)的值为(    )