知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知首项为3的数列{a_n}满足：
(an+1-1)(an-1)
an-an+1
=3，且b_n=
1
an-1
．
（1）求证：数列{b_n}是等差数列；
（2）求数列{2ⁿ•b_n}的前n项和T_n．

难度：中等

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2．已知数列{a_n}中，a₁=3，（n+1）a_n-na_n+1=1，n∈N^*
（Ⅰ）证明：数列{a_n}是等差数列，并求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{b_n}的通项b_n=
4
(an-1)(an+1-1)
，记数列{b_n}的前n项和为T_n，若对n∈N^*，T_n≤k（n+4）恒成立，求实数k的取值范围．

难度：中等

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3．在数列{b_n}中，a_n+3=a_n+3（n∈N₊），a₁=1，S_n是其前n项和．记b_n=
n+a cSn+a
（a≥0，c＞0，c≠1）．
（1）设数列{a_3n-2}（n∈N₊）的前n项和T_n，求T_n表达式；
（2）若S₁₅=15a₈=120，证明：{a_n}以为等差数列：
（3）若数列{b_n}为等比数列，求数列{a_n}的通项公式，并求此时实数a的值．

难度：较难

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4．已知数列{a_n}的首项a₁=1，a_n+1=1-
1
4an
，其中n∈N^•，若b_n=
2
2an-1
．
（1）求证：数列{b_n}是等差数列；
（2）设c_n+1-b_n=c_n-1，c₁=1，求出{c_n}的通项公式．

难度：中等

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5．已知数列通项a_n=lg[100×(
2
2
)^n-1]
（1）写出这个数列的前三项；
（2）求证：数列{a_n}是等差数列．

难度：较易

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6．已知数列{a_n}中，a₁=5，a_n=a_n-1+3．这个数列是否是等差数列？若是，请写出它的公差d和通项公式；若不是，请说明理由．

难度：中等

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7．若非零不等数列{a_n}的前n项和为S_n=
n(a1+an)
2
，求证：数列{a_n}为等差数列．

难度：较易

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8．已知数列{a_n}满足a₁=4．a_n=4-
4
an-1
（n＞1，n∈N₊）记b_n=
1
an-2
．
（1）试判{b_n}是否为等差数列？说明理由．
（2）若a_n=
an-1
4an-1+1
（n＞1，n∈N₊），能否判断数列{
1
an
}是等差数列？

难度：较易

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9．（1）等差数列{a_n}中，a₇=4，a₁₉=2a₉，求数列{a_n}的通项公式．
（2）判断a_n=n²-n（n∈N^*）是否为等差数列．

难度：较易

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10．设数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，a₂=3，a₃=5且（2n+1）S_n+1-（2n+5）S_n=An+B，n∈N^*，其中A，a为常数．
（1）求A，B的值；
（2）证明：数列{a_n}为等差数列；
（3）数列{a_n}中是否存在两项a_m，a_k（m，k∈N^*），使得a_k⁴-2a_k+22=a_m^2_，若存在，求出所有的k和m，如果不存在，请说明理由．

难度：中等

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n+a	cSn+a