知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知各项均不为零的数列{a_n}满足a₁=a（a＞0），当n≥2时，a_n，0，S_n•S_n-1成等差数列，其中S_n为数列{a_n}前n项和．
（1）用a表示a₂，a₃；
（2）求数列{a_n}的通项公式（用a表示）；
（3）{a_n}中是否存在连续的三项a_k-1，a_k，a_k+1为等差数列？若存在，求出k及对应的a的值；若不存在，请说明理由．

难度：较难

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2．已知数列{a_n}中，a₁=3，a₂=5，且数列{a_n}的前n 项和S _n满足S_n+S_n-2=2S_n-1+2（n≥3）
（1）求证：{a_n}为等差数列；
（2）记数列b_n=
an
3n
，试归纳数列{b_n}的前n项和T_n．

难度：中等

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3．数列{a_n}的前n项之和为S_n，a₁=1，且当n≥2时S_n²=a_n（S_n-
1
2
）
（1）证明数列{
1
Sn
}是等差数列，并求数列{a_n}的通项，
（2）令b_n=
Sn
2n+1
，求数列{b_n}的前n项之和为T_n．

难度：中等

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4．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=1，4a_na_n-1+S_n=S_n-1+a_n-1（n≥2，n∈N^*）．
（1）证明：数列{
1
an
}是等差数列；
（2）若
an
λ
+
1
an+1
≥
1
λ
对任意整数n（n≥2）恒成立，求实数λ的取值范围．

难度：较难

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5．已知数列{a_n}的前n项和Sn=-an-(
1
2
)n-1+2（n为正整数）
（1）若bn=2nan，求证：数列{b_n}是等差数列；
（2）令Cn=
n+1
n
an，求数列{C_n}的前n项和T_n．

难度：中等

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6．已知数列{a_n}满足a₁=2，a_n+1=2-
1
an
，n=1，2，3，4…
（1）求证：数列{
1
an-1
}为等差数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式．

难度：中等

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7．已知各项均为正数的两个数列{a_n}和{b_n}满足：a_n+1=
an+bn
an2+bn2
，n∈N^*．
（1）设b_n+1=1+
bn
an
，n∈N^*，求证：数列{（
bn
an
）²}是等差数列；
（2）若a₁=b₁=1，求数列{a_n}和{b_n}的通项公式．

难度：中等

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8．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，a_n=
Sn
n
+n-1（n∈N^*）．
（1）求证：数列{
Sn
n
}为等差数列；
（2）设数列{
1
anan+1
}的前n项和为T_n，求使得T_n＞
m
30
对所有n∈N^*都成立的最大正整数m．

难度：中等

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9．已知数列{a_n}是等差数列，b_n=
a
2
n+1
-
a
2
n
（n∈N₊）．
（1）求证：数列{b_n}是等差数列；
（2）若数列{a_n}的公差为8，b₁=16，求数列{a_n}的前n项和S_n．

难度：中等

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10．已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n=
an-1
2an-1+1
（n∈N^*，n≥2），数列{b_n}满足关系式b_n=
1
an
（n∈N^*）．
（1）求证：数列{b_n}为等差数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式．

难度：中等

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