在等差数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)中，\({{a}_{2}}=4,{{a}_{4}}+{{a}_{7}}=15\)，

\((1)\)求数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)的通项\({{a}_{n}}\)；

\((2)\)若\({{b}_{n}}=\dfrac{{{a}_{1}}+{{a}_{2}}+\cdot \cdot \cdot +{{a}_{n}}}{n}\)，求数列\(\left\{ {{3}^{2{{b}_{n}}-4}} \right\}\)的前\(n\)项和。

在单调递增的等差数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)中，\({{a}_{3}},{{a}_{7}},{{a}_{15}}\)成等比数列，前\(5\)项之和等于\(20\) ．

\((1)\)求数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)的通项公式；

\((2)\)设\({{b}_{n}}=\dfrac{2}{{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}}\)，记数列\(\left\{ {{b}_{n}} \right\}\)的前\(n\)项和为\({{T}_{n}}\)，求使\({{T}_{n}}\leqslant \dfrac{24}{25}\)成立的\(n\)的最大值．

等比数列\(\left\{{a}_{n}\right\} \)中，\({a}_{2}=9,{a}_{5}=243 \)，则\(\left\{{a}_{n}\right\} \)的前\(4\)项和为\((\)   \()\)

\(( 1 )\)已知向量\(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\)，满足\(\overrightarrow{a}=\left( 1,3 \right)\)，\(\left( \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \right)\bot \left( \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} \right)\)，则\(\left| \overrightarrow{b} \right|=\)______．

\(( 2 )\)已知实数\(x,y\)满足\(\begin{cases} & x\leqslant 3 \\ & x+y-3\geqslant 0 \\ & x-y+1\geqslant 0 \\ \end{cases}\)，则\({{x}^{2}}+{{y}^{2}}\)的最小值是     ．

\(( 3 )\)已知圆\(O:{{x}^{2}}+{{y}^{2}}=1.\)圆\({O}{{'}}\)与圆\(O\)关于直线\(x+y-2=0\)对称，则圆\({O}{{'}}\)的方程是__________．

\(( 4 )\)已知数列\(\left\{ a{}_{n} \right\},\left\{ {{b}_{n}} \right\}\)满足\(b{}_{n}=\log {}_{2}a{}_{n},n\in {{N}^{*}}\)，其中\(\left\{ {{b}_{n}} \right\}\)是等差数列，且\({{a}_{9}}{{a}_{2009}}=\dfrac{1}{4}.\)则\({{b}_{1}}+{{b}_{2}}+{{b}_{3}}+\cdot \cdot \cdot +{{b}_{2017}}=\)__________．

\((1)\)不等式\(\dfrac{1}{x} < 1\)的解集是________．

\((2)\)已知\(a\)，\(b\)是互异的正数，\(A\)是\(a\)，\(b\)的等差中项，\(G\)是\(a\)，\(b\)的正的等比中项，则\(A\)________\(G( > , < ,\geqslant ,\leqslant \)选填其中一个\()\)．

\((3)\)已知\(\sin (60{}^\circ +\alpha )=\dfrac{5}{13}\)，\(30^{\circ} < a < 120^{\circ}\)，则\(\cos α=\)________．

\((4)\)如图在正方体\(ABCD—A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\)中，给出以下结论

\(①A_{1}C_{1}\)与平面\(A_{1}B_{1}CD\)成\(45^{\circ}\)角；

\(②CD_{1}\)与\(BC_{1}\)成\(60^{\circ}\)角；

\(③{{V}_{B1}}_{-{{A}_{1}}B{{C}_{1}}}=\dfrac{1}{2}{{V}_{B}}{{_{1}}_{-A{{D}_{1}}C}}\)；

\(④\)正方体的内切球，与各条棱相切的球，外接球的表而积之比为\(1︰2︰3\)其中正确的结论序号是________\(.(\)写出所有正确结论的序号\()\)