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          共50条信息

            • 1． 已知数列\(\{{{a}_{n}}\}\)的前\(n\)项和为\({{S}_{n}}\)，若\(3{{S}_{n}}=2{{a}_{n}}-3n\)，则\({{a}_{2018}}=\)

              A．\({{2}^{2018}}-1\)
              B．\({{3}^{2018}}-6\)
              C．\({{\left( \dfrac{1}{2} \right)}^{2018}}-\dfrac{7}{2}\)
              D．\({{\left( \dfrac{1}{3} \right)}^{2018}}-\dfrac{10}{3}\) 
              难度：难
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            • 2．

              \((\)活页\(89\)页第\(10\)题\()\)已知数列\(\{a_{n}\}\)满足\(a_{n+1}= \dfrac{1}{2}a_{n}+ \dfrac{1}{3}(n=1,2,3,…)\)．

              \((1)\)当\(a_{n}\neq \dfrac{2}{3}\)时，求证\(\left\{ \left. a_{n}- \dfrac{2}{3} \right. \right\}\)是等比数列；

              \((2)\)当\(a_{1}= \dfrac{7}{6}\)时，求数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式．

              难度：中等
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            • 3． 求下列数列的通项公式．
              \((1)\)已知\(\{a\)\({\,\!}_{n}\)\(\}\)满足\(a\)\({\,\!}_{1}\)\(=0\)，\(a\)\({\,\!}_{n+1}\)\(=a\)\({\,\!}_{n}\)\(+n\)，求数列\(\{a\)\({\,\!}_{n}\)\(\}\)的一个通项公式\(\left( \left. 已知1+2+…+n= \dfrac{n(n+1)}{2} \right. \right)\)；

              \((2)\)已知数列\(\{a\)\({\,\!}_{n}\)\(\}\)满足\(a\)\({\,\!}_{1}\)\(=1\)，\( \dfrac{a_{n+1}}{a_{n}}\)\(=\)\( \dfrac{n+2}{n}\)，求数列\(\{a\)\({\,\!}_{n}\)\(\}\)的一个通项公式．

              难度：中等
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            • 4．

              已知数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)的前\(n\)项的和\(S_{n}\)，满足\(\dfrac{3}{2}{{a}_{n}}={{S}_{n}}+2+{{(-1)}^{n}}(n\in {{N}^{*}})\) ．

              \((1)\)求数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)的通项公式．

              \((2)\)设\({T}_{n}= \dfrac{1}{{a}_{1}}+ \dfrac{1}{{a}_{2}}+ \dfrac{1}{{a}_{3}}+⋯+ \dfrac{1}{{a}_{n}} \) ，是否存在正整数\(k\)，使得当\(n\geqslant 3\)时，\({{T}_{n}}\in \left( \dfrac{k}{10},\dfrac{k+1}{10} \right)\) 如果存在，求出\(k\)；如果不存在，请说明理由\(.\) 

              难度：难
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            • 5． 数列\(\{a_{n}\}\)满足\(a_{1}=1\)，\( \dfrac {1}{2a_{n+1}}= \dfrac {1}{2a_{n}}+1(n∈N^{*}).\)
              \((\)Ⅰ\()\)求证\(\{ \dfrac {1}{a_{n}}\}\)是等差数列；
              \((\)Ⅱ\()\)若\(b_{n}=a_{n}⋅a_{n+1}\)，求\(\{b_{n}\}\)的前\(n\)项和\(S_{n}\)．
              难度：难
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            • 6．
              已知数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(S_{n}\)，满足\(nS_{n+1}-(n+1)S_{n}=2n^{2}+2n(n∈N^{*})\)，\(a_{1}=3\)，则数列\(\{a_{n}\}\)的通项\(a_{n}=(\)　　\()\)
              A．\(4n-1\)
              B．\(2n+1\)
              C．\(3n\)
              D．\(n+2\)
              难度：较易
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            • 7．

              若数列\(\{a_{n}\}\)满足\(a_{1}=1\)，\((1-a_{n+1})(1+a_{n})=1(n∈N^{*})\)，则\(\underset{100}{\overset{k{=}1}{\mathrm{{∑}}}}(a_{k}a_{k+1})\)的值为____\(.\) 

              难度：中等
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            • 8．

              单调递增数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)的前\(n\)项和为\({{S}_{n}}\)，且满足\(4{{S}_{n}}=a_{n}^{2}+4n\)．

              \((1)\)求数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)的通项公式；    
              \((2)\)令\({{b}_{n}}=\dfrac{{{a}_{n}}}{{{2}^{n}}}\)，求数列\(\left\{ {{b}_{n}} \right\}\)的前\(n\)项和\({{T}_{n}}\)．
              难度：难
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            • 9．

              已知\(S_{n}\)是数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和，\(a_{1}=2\)，且\(4S_{n}=a_{n}·a_{n+1}\)，数列\(\{b_{n}\}\)中，\({{b}_{1}}=\dfrac{1}{4}\)，且\({{b}_{n+1}}=\dfrac{n{{b}_{n}}}{(n+1)-{{b}_{n}}}\)，\(n∈N*\)．

              \((1)\)求数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式；

              \((2)\)设\({{c}_{n}}=\dfrac{{{a}_{n}}}{{{2}^{\frac{1}{3{{b}_{n}}}+\frac{2}{3}}}}(n∈N*)\)，求\(\{c_{n}\}\)的前\(n\)项和\(T_{n}\)．

              难度：较难
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            • 10． 若数列\(\{a_{n}\}\)满足条件：存在正整数\(k\)，使得\(a_{n+k}+a_{n-k}=2a_{n}\)对一切\(n∈N^{*}\)，\(n > k\)都成立，则称数列\(\{a_{n}\}\)为\(k\)级等差数列．
              \((1)\)已知数列\(\{a_{n}\}\)为\(2\)级等差数列，且前四项分别为\(2\)，\(0\)，\(4\)，\(3\)，求\(a_{8}+a_{9}\)的值；
              \((2)\)若\(a_{n}=2n+\sin ωn(ω\)为常数\()\)，且\(\{a_{n}\}\)是\(3\)级等差数列，求\(ω\)所有可能值的集合，并求\(ω\)取最小正值时数列\(\{a_{n}\}\)的前\(3n\)项和\(S_{3n}\)；
              \((3)\)若\(\{a_{n}\}\)既是\(2\)级等差数列\(\{a_{n}\}\)，也是\(3\)级等差数列，证明：\(\{a_{n}\}\)是等差数列．
              难度：难
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