知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知a_n=2n，f（n）=
a1+1
a1
×
a2+1
a2
×…×
an+1
an
，g（n）=
n+1
（n∈N^*）．
（1）当n=1，2，3时，试比较f（n）与g（n）的大小关系；
（2）猜想f（n）与g（n）的大小关系，并给出证明．

难度：中等

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2．已知各项为正的数列{a_n}的首项为a₁=2sinθ（θ为锐角），
4-
a
2
n
+a

2
n+1
=2，数列{b_n}满足b_n=2ⁿ⁺¹a_n．
（1）求a₁，a₂，a₃，写出a_n（不用证明）；
（2）①当x∈（0，
π
2
）时，证明sinx＜x；
②若θ=
π
4
，证明a₁+a₂+…+a_n＜π．

难度：中等

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3．设数列{a_n}的各项均为正整数，其前n项和为S_n，我们称满足条件“对任意的m，n∈N^*，均有（n-m）S_n+m=（n+m）（S_n-S_m）”的数列{a_n}为“L数列”．现已知数列{a_n}为“L数列”，且a₂₀₁₆=3000，则a_n= ．

难度：中等

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4．各项均为正数的数列{a_n}中，S_n是数列{a_n}的前n项和，对任意n∈N^*，有2S_n=2a_n²+a_n-1．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）记b_n=2ⁿ•a_n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

难度：中等

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5．设数列{a_n}的前n项和为S_n，d为常数，已知对∀n，m∈N^*，当n＞m，总有S_n-S_m=S_n-m+m（n-m）d成立
（1）求证：数列{a_n}是等差数列；
（2）探究：命题p：“对∀n，m∈N^*，当n＞m时，总有S_n-S_m=S_n-m+m（n-m）d”是命题q：“数列{a_n}是等差数列”的充要条件吗？请证明你的结论；
（3）若正整数n，m，k成等差数列，比较S_n+S_k与2S_m的大小，并说明理由．

难度：较难

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6．已知数列{a_n}满足a1=
1
2
，且当n≥2，且n∈N^*时，有
an-1
an
=
an-1+2
2-an
，
（1）求证：数列{
1
an
}为等差数列；
（2）已知函数f(n)=(
9
10
)n(n∈N+)，试问数列{
f(n)
an
}是否存在最小项，如果存在，求出最小项；如果不存在，说明理由．

难度：中等

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7．已知等差数列{a_n}满足a₁+a₂=10，a₄-a₃=2．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若等比数列{b_n}满足b₂=a₃，b₃=a₇，求数列{b_n}的通项公式．

难度：较易

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8．（1）求和：S_n=1
1
2
+2
1
4
+3
1
8
+…+(n+
1
2n
)．
（2）a_n=
1
n(n+2)
，n∈N+，求此数列的前n项和S_n．

难度：中等

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9．已知{a_n}是公差不为零的等差数列，a₁=1，且a₁，a₃，a₉成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项；
（Ⅱ）求证：
1
a1a2
+
1
a2a3
+…+
1
anan+1
＜1．

难度：中等

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10．已知数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=c-
1
an
，设c=
5
2
，bn=
1
an-2
，求数列{b_n}的通项公式．

难度：中等

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