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          共50条信息

            • 1．
              数列\(\{a_{n}\}\)中，已知对任意\(n∈N^{*}\)，\(a_{1}+a_{2}+a_{3}+…+a_{n}=3^{n}-1\)，则\(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}+…+a_{n}^{2}=\) ______ ．
              难度：难
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            • 2．
              正项数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和\(S_{n}\)满足：\(S_{n}^{2}-(n^{2}+n-1)S_{n}-(n^{2}+n)=0\)
              \((1)\)求数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式\(a_{n}\)；
              \((2)\)令\(b\;_{n}= \dfrac {n+1}{(n+2)^{2}a_{n}^{2}}\)，数列\(\{b_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(T_{n}.\)证明：对于任意\(n∈N^{*}\)，都有\(T\;_{n} < \dfrac {5}{64}\)．
              难度：较易
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            • 3．
              已知数列\(\{a_{n}\}\)中，\(a_{1}=1\)，\(S_{n}\)为数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和，且当\(n\geqslant 2\)时，有\( \dfrac {2a_{n}}{a_{n}S_{n}-S^{2}_{n}}=1\)成立，则\(S_{2017}=\) ______ ．
              难度：较易
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            • 4．
              已知函数\(f(n)= \begin{cases} \overset{n^{2},n{为奇数}}{-n^{2},n{为偶数}}\end{cases}\)，且\(a_{n}=f(n)+f(n+1)\)，则\(a_{1}+a_{2}+a_{3}+…+a_{2014}=(\)　　\()\)
              A．\(-2013\)
              B．\(-2014\)
              C．\(2013\)
              D．\(2014\)
              难度：较易
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            • 5．
              已知\(S_{n}\)是数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和，\(a_{1}=1\)，\(a_{2}=3\)，数列\(\{a_{n}a_{n+1}\}\)是公比为\(2\)的等比数列，则\(S_{10}=(\)　　\()\)
              A．\(1364\)
              B．\( \dfrac {124}{3}\)
              C．\(118\)
              D．\(124\)
              难度：中等
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            • 6．
              已知数列\(\{a_{n}\}\)中，\(a_{1}=2\)，\(a_{n+1}=2- \dfrac {1}{a_{n}}\)，数列\(\{b_{n}\}\)中，\(b_{n}= \dfrac {1}{a_{n}-1}\)，其中\(n∈N^{*}\)；
              \((1)\)求证：数列\(\{b_{n}\}\)是等差数列；
              \((2)\)若\(S_{n}\)是数列\(\{b_{n}\}\)的前\(n\)项和，求\( \dfrac {1}{S_{1}}+ \dfrac {1}{S_{2}}+…+ \dfrac {1}{S_{n}}\)的值．
              难度：较易
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            • 7．
              已知二次函数\(f(x)= \dfrac {1}{3}x^{2}+ \dfrac {2}{3}x.\)数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(S_{n}\)，点\((n,S_{n})(n∈N^{*})\)在二次函数\(y=f(x)\)的图象上．
              \((\)Ⅰ\()\)求数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式；
              \((\)Ⅱ\()\)设\(b_{n}=a_{n}a_{n+1}\cos [(n+1)π](n∈N^{*})\)，数列\(\{b_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(T_{n}\)，若\(T_{n}\geqslant tn^{2}\)对\(n∈N^{*}\)恒成立，求实数\(t\)的取值范围；
              \((\)Ⅲ\()\)在数列\(\{a_{n}\}\)中是否存在这样一些项：\(a\;_{n_{1}}\)，\(a\;_{n_{2}}\)，\(a\;_{n_{3}}\)，\(…\)，\(a\;_{n_{k}}\)这些项都能够
              构成以\(a_{1}\)为首项，\(q(0 < q < 5)\)为公比的等比数列\(\{a\;_{n_{k}}\}\)？若存在，写出\(n_{k}\)关于\(f(x)\)的表达式；若不存在，说明理由．
              难度：中等
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            • 8．
              已知\(a_{1}=1\)，\(a_{2}=- \dfrac {1}{1+a_{1}}\)，\(a_{3}=- \dfrac {1}{1+a_{2}}\)，\(…\)，\(a_{n+1}=- \dfrac {1}{1+a_{n}}\)，\(….\)那么\(a_{2017}=\) ______ ．
              难度：中等
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            • 9．
              若\(a_{1} > 0\)，\(a_{1}\neq 1\)，\(a_{n+1}= \dfrac {2a_{n}}{1+a_{n}}(n=1,2,…)\)．
              \((1)\)求证：\(a_{n+1}\neq a_{n}\)；
              \((2)\)令\(a_{1}= \dfrac {1}{2}\)，写出\(a_{2}\)，\(a_{3}\)，\(a_{4}\)，\(a_{5}\)的值，观察并归纳出这个数列的通项公式\(a_{n}\)，并用数学归纳法证明．
              难度：较易
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            • 10．
              已知数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(S_{n}\)，且\(S_{n}=2a_{n}-2(n=1,2,3…)\)，\((a_{n}\neq 0)\)，数列\(\{b_{n}\}\)中，\(b_{1}=1\)，点\(P(b_{n},b_{n+1})\)在直线\(x-y+2=0\)上．
              \((1)\)求数列\(\{a_{n}\}\)，\(\{b_{n}\}\)的通项\(a_{n}\)和\(b_{n}\)；
              \((2)\)设\(c_{n}=a_{n}⋅b_{n}\)，求数列\(\{c_{n}\}\)的前\(n\)项和\(T_{n}\)．
              难度：较难
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