知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a1=-
2
3
，Sn+
1
Sn
+2=an(n≥2)．
（1）计算S₁，S₂，S₃，S₄的值；
（2）猜想S_n的表达式，并用数学归纳法证明你的猜想．

难度：较易

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2．已知正数数列{x_n}满足x₁=
1
2
，x_n+1=
1
1+xn
，n∈N^*．
（1）求x₂，x₄，x₆．
（2）猜想数列{x_2n}的单调性，并证明你的结论．

难度：中等

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3．数列{a_n}满足an+1=
2an-9
an-4
(n∈N+)，且a₁=2．
（1）写出a₂，a₃，a₄的值；
（2）归纳猜想数列{a_n}的通项公式，并用数学归纳法证明；
（3）设bn=(an+1-3)(an-3)(n∈N+)，求数列{b_n}的前n项和T_n．

难度：中等

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4．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，点（n，
Sn
n
）在直线y=
1
2
x+
11
2
上．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=
3
(2an-11)(2an+1-11)
，求数列{b_n}的前n项和为T_n，并求使不等式T_n＞
k
20
对一切n∈N^*都成立的最大正整数k的值．

难度：中等

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5．已知数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=a_n+
1
n
，则a₄= ．

难度：中等

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6．设数列{a_n}是公差为d的等差数列．
（Ⅰ）推导{a_n}的前n项和S_n公式；
（Ⅱ）证明数列{
Sn
n
}是等差数列．

难度：中等

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7．已知数列{a_n}的前n项和为Sn，a1=-
1
2
，Sn=-
1
Sn-1+2
(n≥2)
（1）计算S₁，S₂，S₃，S₄；
（2）猜想S_n的表达式，并证明你的结论．

难度：中等

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8．已知数列{a_n}满足：a₁=2，a₃+a₅=-4．
（Ⅰ）若数列{a_n}是等差数列，求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若a₄=-1，且2a_n+1=a_n+a_n+2+k（n∈N^*，k∈R），
①证明数列{a_n+1-a_n}是等差数列；
②求数列{a_n}的通项公式．

难度：中等

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9．已知二次函数f（x）=x²，数列{a_n}的前n项和为S_n，点（n，S_n）均在函数y=f（x）上的图象上．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{
1
anan+1
}前n项和为T_n，问满足Tn＞
100
209
的最小正整数n是多少？．

难度：中等

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10．已知函数f（x）=log₂x，g（x）=x²+2x，数列{a_n}的前n项和记为S_n，b_n为数列{b_n}的通项，n∈N^*．点（b_n，n）和（n，S_n）分别在函数f（x）和g（x）的图象上．
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）令C_n=
1
an•f(b2n-1)
，求数列{C_n}的前n项和T_n．

难度：中等

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