知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．设数列{a_n}满足：a₁=0，a_n+1=a_n+（n+1）3ⁿ．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=
4an+3
4n
，求数列{b_n}中的最大项的值．

难度：中等

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2．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a1=-
2
3
，Sn+
1
Sn
+2=an(n≥2)．
（1）计算S₁，S₂，S₃，S₄的值；
（2）猜想S_n的表达式，并用数学归纳法证明你的猜想．

难度：较易

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3．已知正数数列{x_n}满足x₁=
1
2
，x_n+1=
1
1+xn
，n∈N^*．
（1）求x₂，x₄，x₆．
（2）猜想数列{x_2n}的单调性，并证明你的结论．

难度：中等

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4．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，点（n，
Sn
n
）在直线y=
1
2
x+
11
2
上．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=
3
(2an-11)(2an+1-11)
，求数列{b_n}的前n项和为T_n，并求使不等式T_n＞
k
20
对一切n∈N^*都成立的最大正整数k的值．

难度：中等

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5．设数列{a_n}是公差为d的等差数列．
（Ⅰ）推导{a_n}的前n项和S_n公式；
（Ⅱ）证明数列{
Sn
n
}是等差数列．

难度：中等

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6．已知等比数列{a_n}中，a₁=
1
2
，公比q=
1
2
．
（1）S_n为{a_n}的前n项和；证明：S_n=1-a_n；
（2）设b_n=log₂a₁+log₂a₂+…+log₂a_n，求数列{b_n}的通项公式．

难度：较易

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7．已知{a_n}（n=1，2，3，…）是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n项的最大值记为A，第n项之后各项a_n+1，a_n+2…的最小值记为B_n，d_n=A_n-B_n．
（1）若{a_n}满足a₁=3，当n≥2时，a_n=3ⁿ-1，写出d₁，d₂，d₃的值；
（2）设d是非负整数，证明：d_n=-d的充分必要条件为{a_n}是公差为d的等差数列．

难度：中等

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8． S_n为数列{a_n}的前n项和，对任意n∈N^*，都有S_n=2a_n-1．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{
1
an
}的前n项和为T_n，求使得|T_n-2|＜
1
500
成立的n的最小值．

难度：中等

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9．已知数列{a_n}满足a₁=2，a_n=2-
1
an-1
，b_n=
1
an-1
，解答下列问题：
（1）求证：数列{b_n}是等差数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式．

难度：中等

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10．已知数列{a_n}的首项a₁=1，a_n+1=1-
1
4an
，其中n∈N^•，若b_n=
2
2an-1
．
（1）求证：数列{b_n}是等差数列；
（2）设c_n+1-b_n=c_n-1，c₁=1，求出{c_n}的通项公式．

难度：中等

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