知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知数列{a_n}满足a1=
1
2
，且当n≥2，且n∈N^*时，有
an-1
an
=
an-1+2
2-an
，
（1）求证：数列{
1
an
}为等差数列；
（2）已知函数f(n)=(
9
10
)n(n∈N+)，试问数列{
f(n)
an
}是否存在最小项，如果存在，求出最小项；如果不存在，说明理由．

难度：中等

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2．已知数列{a_n}前n项和为S_n，且满足3S_n-4a_n+2=0．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）令b_n=log₂a_n，T_n为{b_n}的前n项和，求证：
n
k=1
1
T k
＜2．

难度：中等

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3．设a₁=1，S_n为数列{a_n}的前n项和，且S_n+1-S_n+2S_n+1S_n=0，则数列{a_n}的通项公式为 a_n= ．

难度：中等

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4．设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且S₄=4S₂，a_2n=2a_n+1．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足
b1
a1
+
b2
a2
+…+
bn
an
=1-
1
2n
，n∈N^*，求{b_n}的前n项和T_n．

难度：中等

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5．设各项均为正数的无穷数列{a_n}，{b_n}满足：对任意n∈N^*都有2b_n=a_n+a_n+1且a_n+1²=b_n•b_n+1，
（1）求证：数列{
bn
}是等差数列；
（2）设a₁=1，a₂=2，求{a_n}和{b_n}的通项公式．

难度：中等

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6．已知单调递增的等比数列{a_n}满足a₂+a₃+a₄=28，且a₃+2是a₂，a₄的等差中项．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=a_n•log₂a_n，其前n项和为S_n，若（n-1）²≤m（S_n-n-1）对于n≥2恒成立，求实数m的取值范围．

难度：中等

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7．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=2a_n-2（n=1，2，3，…），数列{b_n}中，b₁=1，点P（b_n，b_n+1）在直线x-y+2=0上．（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项a，b；
（2）若T_n为数列{b_n}的前n项和，证明：当n≥2时，2S_n＞T_n+3n．

难度：中等

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8．设数列{a_n}，a₁=4，a_n+1=3a_n+2n-1
（1）求证{a_n+n}是等比数列
（2）求a_n．

难度：中等

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9．设数列{a_n}的前n项和为S_n，数列{S_n}的前n项和为T_n，且2T_n=4S_n-（n²+n），n∈N^*．
（1）证明：数列{a_n+1}为等比数列；
（2）设b_n=
n+1
an+1
，比较b₁+b₂+…+b_n与3的大小．

难度：中等

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10．已知数列{a_n}满足：a_n+2=4a_n+1-4a_n，且a₁=1，a₂=6．
（1）设b_n=a_n+1-2a_n，求证：数列{b_n}是等比数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式．

难度：中等

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