知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．设数列{a_n}满足a₁=a，a_n+1a_n-a_n²=1（n∈N^*）
（I）若a₃=
5
2
，求实数a的值；
（Ⅱ）设b_n=
an
n
（n∈N^*）．若a=1，求证
2
≤b_n＜
3
2
（n≥2，n∈N^*）．

难度：中等

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2．给定数列{a_n}，记该数列前i项a₁，a₂，…，a_i中的最大项为A_i，即A_i=max{a₁，a₂，…，a_i}；该数列后n-i项a_i+1，a_i+2，…，a_n中的最小项为B_i，即B_i=min{a_i+1，a_i+2，…，a_n}；d_i=A_i-B_i（i=1，2，3，…，n-1）
（1）对于数列：3，4，7，1，求出相应的d₁，d₂，d₃；
（2）若S_n是数列{a_n}的前n项和，且对任意n∈N^*，有(1-λ)Sn=-λan+
2
3
n+
1
3
，其中λ为实数，λ＞0且λ≠
1
3
，λ≠1．
①设bn=an+
2
3(λ-1)
，证明数列{b_n}是等比数列；
②若数列{a_n}对应的d_i满足d_i+1＞d_i对任意的正整数i=1，2，3，…，n-2恒成立，求实数λ的取值范围．

难度：中等

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3．一种计算装置，有一数据入口A和一个运算出口B，按照某种运算程序：①当从A口输入自然数1时，从B口得到
1
3
，记为f(1)=
1
3
；②当从A口输入自然数n（n≥2）时，在B口得到的结果f（n）是前一个结果f（n-1）的
2(n-1)-1
2(n-1)+3
倍．
（Ⅰ）当从A口分别输入自然数2，3，4时，从B口分别得到什么数？
（Ⅱ）根据（Ⅰ）试猜想f（n）的关系式，并用数学归纳法证明你的结论．

难度：中等

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4．已知数列{a_n}满足a_n=
an+1-a-n-1
a-a-1
（n∈N^*），a≠-1，0，1，设b=a+
1
a
．
（1）求证：a_n+1=ba_n-a_n-1（n≥2，n∈N^*）；
（2）当n（n∈N^*）为奇数时，a_n=
n-1
2
i=0
(-1)iC

i
n-1
b^n-2i，猜想当n（n∈N^*）为偶数时，a_n关于b的表达式，并用数学归纳法证明．

难度：较难

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5． [A]已知数列{a_n}满足a₄=20，a_n+1=2a_n-n+1（n∈N⁺）．
（1）计算a₁，a₂，a₃，根据计算结果，猜想a_n的表达式（不必证明）；
（2）用数学归纳法证明你的结论．

难度：中等

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6．已知数列{a_n}满足：a₁=3，a_n+1=a_n²-na_n+1．
（Ⅰ）求a₂，a₃，a₄的值；
（Ⅱ）猜测a_n与n+2的关系，并用数学归纳法证明．

难度：中等

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7．已知数列{a_n}中各项都不为零，且a₁=1，a_n+1=
an
3+2an

（1）证明：数列{
1
an
+1}是等比数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（2）求证：
a1
a1+1
+
a2
a2+1
+
a3
a3+1
+…+
an
an+1
＜
3
4
．

难度：中等

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8． [B]已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足2S_n=4a_n+（n-4）（n+1）（n∈N⁺）．
（1）计算a₁，a₂，a₃，根据计算结果，猜想a_n的表达式（不必证明）；
（2）用数学归纳法证明你的结论．

难度：中等

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9．已知函数f（x）=
x+3
x+1
，x∈（0，+∞），数列{a_n}满足a_n+1=f（a_n），n∈N^*，a₁=1．
（1）试比较|a_n+1-
3
|与|a_n-
3
|的大小，并说明理由．
（2）求证：|a₁-
3
|+|a₂-
3
|+|a₃-
3
|+…+|a_n-
3
|＜
3
+1．

难度：中等

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10．对于2×2的方阵，定义如下的乘法：
a b
c d
×
e f
g h
=
ae+bg af+bh
ce+dg cf+dh
，并设
1 4
2 3
=
a1 b1
c1 d1
，
1 4
2 3
×
an bn
cn dn
=
an+1 bn+1
cn+1 dn+1
（n=1，2，3，…）
（Ⅰ）证明：数列{a_n+2c_n}是等比数列；
（Ⅱ）证明：存在实数λ，使得数列{a_n-λ•5ⁿ}为等比数列，列，并求出{a_n}的通项公式．

难度：中等

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