知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知数列{a_n}满足前n的和为S_n=n²，数列{b_n}满足b_n=
2
an+1
，且前n项的和T_n，设c_n=T_2n+1-T_n．
（1）求数列{b_n}的通项公式；
（2）判断数列{c_n}的单调性．

难度：中等

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2．对于给定数列{c_n}，如果存在实常数p，q使得c_n+1=pc_n+q对于任意n∈N^*都成立，我们称数列{c_n}是“Q类数列”．
（1）若a_n=3n，b_n=3•5ⁿ，n∈N^*，数列{a_n}、{b_n}是否为“Q类数列”？若是，指出它对应的实常数p，q，若不是，请说明理由；
（2）证明：若数列{a_n}是“Q类数列”，则数列{a_n+a_n+1}也是“Q类数列”；
（3）若数列{a_n}满足a₁=2，a_n+a_n+1=3t•2ⁿ（n∈N^*），t为常数．求数列{a_n}前2015项的和．并判断{a_n}是否为“Q类数列”，说明理由．

难度：较难

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3．设数列{a_n}的前n项和为S_n，若S_n=2ⁿ-3，则数列{a_n}的通项公式为．

难度：中等

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4．设S_n为数列{a_n}的前n项和，对任意的n∈N₊，都有S_n=（m+1）-ma_n（m为正常数）．
（1）求证：数列{a_n}是等比数列；
（2）数列{b_n}满足：b₁=2a₁，b_n=
bn-1
1+bn-1
（n≥2，n∈N₊），求数列{b_n}的通项公式；
（3）在满足（2）的条件下，求数列{
2n+1
bn
cos（n+1）π}的前n项和T_n．

难度：中等

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5．数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1-a_n=2n，则a₅= ．

难度：较易

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6．在数列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=λa_n+λⁿ⁺¹+（2-λ）2ⁿ（n∈N^*），其中λ＞0．
（1）写出a₁，a₂，a₃；
（2）由（1）数列{a_n}猜想出数列{a_n}的通项公式并用数学归纳法证明．

难度：中等

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7．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=3，a_n+1=2a_n+2ⁿ⁺¹-1（n∈N^*）．
（1）求a₂，a₃
（2）求实数λ使{
an+λ
2n
}为等差数列，并由此求出a_n与S_n；
（3）求n的所有取值，使
Sn
an
∈N^*，说明你的理由．

难度：较难

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8．已知数列{a_n}满足a₁=2，a_n+1=4a_n+2ⁿ⁺¹（n∈N^*）．
（1）令b_n=
an
2n
+1，求证：数列{b_n}为等比数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）求满足a_n≥240的最小正整数n．

难度：较难

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9．设数列的首项a₁=a（a≠
1
4
），a_n+1=
1
2
an，n=2k
an+
1
4
，n=2k-1
（k∈N^*），且b_n=a_2n-1-
1
4
（n∈N^*）．
（1）求a₂，a₃；
（2）判断数列{b_n}是否为等比数列，并证明你的结论；
（3）求
lim
n→∞
（b₁+b₂+…+b_n）．

难度：较难

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10．设数列{a_n}的前n项和为S_n，且对任意的n∈N^*，都有a_n＞0，S_n=
a
3
1
+
a
3
2
+
a
3
3
+…+
a
3
n
．
（1）求a₁，a₂的值．
（2）对于数列{a_n}，求证：a_2n+1ⁿ≥a_2nⁿ+a_2n-1ⁿ
（3）已知椭圆方程C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），数列{a_n}中的a₂，a₄分别是椭圆的短半轴长的平方和长半轴长的平方，过点P(
2
3
，-
1
3
)而不过点Q(
2
，1)的动直线l交椭圆C于A、B两点，记△QAB的面积为S，证明：S＜3．

难度：较难

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