知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
已知数列\(\{a_{n}\}\)的各项均为正数，其前\(n\)项和为\(S_{n}\)，且满足\(a_{1}=1\)，\(a_{n+1}=2 \sqrt {S_{n}}+1\)，\(n∈N^{*}\)．
\((1)\)求\(a_{2}\)的值；
\((2)\)求数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式；
\((3)\)是否存在正整数\(k\)，使\(a_{k}\)，\(S_{2k-1}\)，\(a_{4k}\)成等比数列？若存在，求\(k\)的值，若不存在，请说明理由．

难度：较易

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2．
若\(a_{1} > 0\)，\(a_{1}\neq 1\)，\(a_{n+1}= \dfrac {2a_{n}}{1+a_{n}}(n=1,2,…)\)
\((1)\)求证：\(a_{n+1}\neq a_{n}\)；
\((2)\)令\(a_{1}= \dfrac {1}{2}\)，写出\(a_{2}\)、\(a_{3}\)、\(a_{4}\)、\(a_{5}\)的值，观察并归纳出这个数列的通项公式\(a_{n}\)；
\((3)\)证明：存在不等于零的常数\(p\)，使\(\{ \dfrac {a_{n}+P}{a_{n}}\}\)是等比数列，并求出公比\(q\)的值．

难度：中等

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3．
已知正项数列\(n\)的前\(n\)项和为\(S_{n}\)，且\(a_{1}=1\)，\(a_{n+1}^{2}=S_{n+1}+S_{n}\)．
\((1)\)求数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式；
\((2)\)设\(b_{n}=a_{2n-1}\cdot 2^{a_{n}}\)，求数列\(\{b_{n}\}\)的前\(n\)项和\(T_{n}\)．

难度：较易

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4．
数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(S_{n}\)，若对于任意的正整数\(n\)都有\(S_{n}=2a_{n}-3n\)．
\((1)\)设\(b_{n}=a_{n}+3\)，求证：数列\(\{b_{n}\}\)是等比数列，并求出\(\{a_{n}\}\)的通项公式；
\((2)\)求数列\(\{na_{n}\}\)的前\(n\)项和．

难度：较易

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5．
设\(S_{n}\)为各项不相等的等差数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和，已知\(a_{3}a_{5}=3a_{7}\)，\(S_{3}=9\)．
\((1)\)求数列\(\{a_{n}\}\)通项公式；
\((2)\)设\(T_{n}\)为数列\(\{ \dfrac {1}{a_{n}a_{n+1}}\}\)的前\(n\)项和．

难度：较易

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6．
已知递增数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(S_{n}\)，且满足\(2S_{n}= a_{ n }^{ 2 }+n\)．
\((I)\)求\(a_{n}\)；
\((II)\)设\(b_{n}=a_{n+1}\cdot 2^{n}\)，求数列\(\{b_{n}\}\)的前\(n\)项和\(T_{n}\)．

难度：较易

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7．
数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(S_{n}\)，\(a_{1}=1\)，\(S_{n}= \dfrac {a_{n+1}-1}{2}(n∈N^{*})\)，
\((1)\)求\(\{a_{n}\}\)的通项公式；
\((2)\)等差数列\(\{b_{n}\}\)的各项均为正数，其前\(n\)项和为\(T_{n}\)，且\(T_{3}=15\)，又\(a_{1}+b_{1}\)，\(a_{2}+b_{2}\)，\(a_{3}+b_{3}\)成等比数列，求\(T_{n}\)．

难度：较易

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8．
设数列\(\{a_{n}\}\)满足：\(a_{1}=1\)，\(a_{n+1}=2a_{n}+1\)．
\((1)\)证明：数列\(\{a_{n}+1\}\)为等比数列，并求出数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式；
\((2)\)求数列\(\{n⋅(a_{n}+1)\}\)的前\(n\)项和\(T_{n}\)．

难度：较易

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9．
已知数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(S_{n}\)，\(S_{n}= \dfrac {1}{3}(a_{n}-1)(n∈N^{*})\)
\((1)\)求\(a_{1}\)，\(a_{2}\)，\(a_{3}\)的值．
\((2)\)求\(a_{n}\)的通项公式．

难度：难

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10．
我国古代数学名著\(《\)九章算术\(》\)中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法的前两步为：
第一步：构造数列\(1\)，\( \dfrac {1}{2}\)，\( \dfrac {1}{3}\)，\( \dfrac {1}{4}\)，\(…\)，\( \dfrac {1}{n}.①\)
第二步：将数列\(①\)的各项乘以\(n\)，得到数列\((\)记为\()a_{1}\)，\(a_{2}\)，\(a_{3}\)，\(…\)，\(a_{n}.\)则\(a_{1}a_{2}+a_{2}a_{3}+…+a_{n-1}a_{n}=\) ______ ．

难度：较易

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