知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知数列{a_n}是一个首项为a₁，公比q＞0的等比数列，前n项和为S_n，记T_n=a₁+a₂+a₃+…+a_2n-1，求 $%20%5Clim_%7Bn%E2%86%92%E2%88%9E%7D%20%5Cfrac%20%7BS_%7Bn%7D%7D%7BT_%7Bn%7D%7D$ 的值．

难度：较易

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2．已知等比数列{a_n}的首项为1，公比为q，它的前n项和为S_n；
（1）若S₃=3，S₆=-21，求公比q；
（2）若q＞0，且T_n=a₁+a₃+…+a_2n-1，求 $%20%5Clim_%7Bn%E2%86%92%E2%88%9E%7D$ $%20%5Cfrac%20%7BS_%7Bn%7D%7D%7BT_%7Bn%7D%7D$ ．

难度：较易

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3．
设正项数列$\{{{a}_{n}}\}$的前$n$项和${{S}_{n}}$，且满足${{S}_{n}}=\dfrac{1}{2}a_{n}^{2}+\dfrac{n}{2}(n\in {{N}^{*}})$ ．

$($Ⅰ$)$计算${{a}_{1}},{{a}_{2}},{{a}_{3}}$的值，猜想$\{{{a}_{n}}\}$的通项公式，并证明你的结论；

$($Ⅱ$)$设${{T}_{n}}$是数列$\{\dfrac{1}{a_{n}^{2}}\}$的前$n$项和，证明：${{T}_{n}} < \dfrac{4n}{2n+1}$ ．

难度：较难

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4．数列{a_n}满足a_n+1=a_n²-a_n+1，a₁=2．
（1）比较a_n与a_n+2的大小；
（2）证明： $2%5E%7B2%5E%7Bn-1%7D%7D$ ＜a_n+1-1＜2^2ⁿ（n≥2，n∈N^*）；
（3）记S_n= $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Ba_%7B1%7D%7D%2B%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Ba_%7B2%7D%7D%2B%E2%80%A6%2B%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Ba_%7Bn%7D%7D$ ，求 $%20%5Clim_%7Bn%E2%86%92%E2%88%9E%7DS_%7Bn%7D$ ．

难度：较易

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5．已知函数f（x）（x∈D），若存在常数T（T＞0），对任意x∈D都有f（x+T）=T•f（x），则称函数f（x）为T倍周期函数
（1）判断h（x）=x是否是T倍周期函数，并说明理由；
（2）证明：g（x）=（ $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B4%7D$ ）^x是T倍周期函数，且T的值是唯一的；
（3）若f（n）（n∈N^*）是2倍周期函数，f（1）=1，f（2）=-4，S_n表示f（n）的前n 项和，C_n= $%20%5Cfrac%20%7BS_%7B2n%7D%7D%7BS_%7B2n-1%7D%7D$ ，求 $%20%5Clim_%7Bn%E2%86%92%E2%88%9E%7D$ C_n．

难度：中等

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6．设对于任意实数x、y，函数f（x）、g（x）满足f（x+1）= $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B3%7D$ f（x），且f（0）=3，g（x+y）=g（x）+2y，g（5）=13，n∈N^*．
（Ⅰ）求数列{f（n）}、{g（n）}的通项公式；
（Ⅱ）设c_n=g[ $%20%5Cfrac%20%7Bn%7D%7B2%7Df%28n%29$ ]，求数列{c_n}的前n项和S_n；
（Ⅲ）已知 $%20%5Clim_%7Bn%20%7D%5Cxrightarrow%7B%C2%A0%7D%E2%88%9E%20%5Cfrac%20%7B2n%2B3%7D%7B3%5E%7Bn-1%7D%7D$ =0，设F（n）=S_n-3n，是否存在整数m和M，使得对任意正整数n不等式m＜F（n）＜M恒成立？若存在，分别求出m和M的集合，并求出M-m的最小值；若不存在，请说明理由．

难度：较易

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7．
按照如下的规律构造数表：
第一行是：$2$；
第二行是：$2+1$，$2+3$：即$3$，$5$；
第三行是：$3+1$，$3+3$，$5+1$，$5+3$，即：$4$，$6$，$6$，$8$，
$…$
$($即从第二行起将上一行的数的每一项各加$1$写出，再各项再加$3$写出$)$，若第$n$行所有的项的和为$a_{n}$；
$2$
$3 5$
$4 6 6 8$
$5 7 7$ $9 7 9 9 11$
$…$
$(1)$求$a_{3}$，$a_{4}$，$a_{5}$；
$(2)$试写出$a_{n+1}$与$a_{n}$的递推关系，并据此求出数列$\{a_{n}\}$的通项公式；
$(3)$设$S_{n}= \dfrac {a_{3}}{a_{1}a_{2}}+ \dfrac {a_{4}}{a_{2}a_{3}}+…+ \dfrac {a_{n+2}}{a_{n}a_{n+1}}(n∈N^{*})$，求$S_{n}$和$ \overset\lim{n\rightarrow \infty }S_{n}$的值．

难度：较易

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8．
已知等差数列$\{a_{n}\}$，公差$d > 0$，前$n$项和为$S_{n}$，且满足$a_{2}a_{3}=45$，$a_{1}+a_{4}=14$．
$(1)$求数列$\{a_{n}\}$的通项公式及前$n$项和$S_{n}$；
$(2)$设$b_{n}= \dfrac {S_{n}}{n- \dfrac {1}{2}}$，
$①$求证$\{b_{n}\}$是等差数列．
$②$求数列$\{ \dfrac {1}{b_{n}\cdot b_{n+1}}\}$的前$n$项和$T_{n}$．
$③$求$ \lim\limits_{n→∞}T_{n}$．

难度：较易

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9．
已知等比数列$\{a_{n}\}$的首项为$1$，公比为$q$，它的前$n$项和为$S_{n}$；
$(1)$若$S_{3}=3$，$S_{6}=-21$，求公比$q$；
$(2)$若$q > 0$，且$T_{n}=a_{1}+a_{3}+…+a_{2n-1}$，求$ \lim\limits_{n→∞} \dfrac {S_{n}}{T_{n}}$．

难度：较易

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10．
已知函数$f(x)(x∈D)$，若存在常数$T(T > 0)$，对任意$x∈D$都有$f(x+T)=T⋅f(x)$，则称函数$f(x)$为$T$倍周期函数
$(1)$判断$h(x)=x$是否是$T$倍周期函数，并说明理由；
$(2)$证明：$g(x)=( \dfrac {1}{4})^{x}$是$T$倍周期函数，且$T$的值是唯一的；
$(3)$若$f(n)(n∈N^{*})$是$2$倍周期函数，$f(1)=1$，$f(2)=-4$，$S_{n}$表示$f(n)$的前$n$ 项和，$C_{n}= \dfrac {S_{2n}}{S_{2n-1}}$，求$ \lim\limits_{n→∞}C_{n}$．

难度：中等

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