知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知等比数列{a_n}的首项为1，公比为q（0＜q≤1），它的前n项和为S_n，且T_n=
Sn
Sn+1
，求
lim
n→∞
T_n的值．

难度：中等

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2．若数列{a_n}满足|a_n+1-a_n|=p，当p=
1
2
时，则称{a_n}为“规则数列”；当p=
1
2n
时，则称{a_n}为“收缩数列”，记S_n=a₁+a₂+…+a_n
（1）若{a_n}是首项为2的“规则数列”，求a₂₀₁₆的不同取值个数以及最大值，求使得S_n=0成立的n的最小值
（2）已知{a_n}是首项为3的“规则数列”，求证：a₉₉=52成立的充要条件是数列{a_n}是递增数列；
（3）是否存在首项a₁≥1的“收缩数列”{a_n}，使得
lim
n→∞
S_n存在，若存在，求出极限；若不存在，请说明理．

难度：中等

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3．观察下列数列当n→∞时有无极限：
（1）1，-1，1，…，（-1）^n-1，…；
（2）
1
2
，
1
4
，
1
8
，…，
1
2n
，…；
（3）
1
2
，
2
3
，
3
4
，…，
n
n+1
，…；
（4）1，3，5，…，2n-1，…

难度：较易

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4．设0＜x_n＜1，x_n+1=1-
1-xn
（n∈N），求
lim
n→∞
x_n．

难度：中等

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5．设x，y∈R，给出四个点A（2^x-1，y），B（1，1），C（x²+1，4），D（x²-1，1）
（1）若
AB
∥
CD
，把y表示成x的函数y=f（x）；
（2）对数列{a_n}，设a₁=a₂=1，且4an+1=
2
3
f（a_n）+
4
3
，（n≥2，n∈N^*），求
lim
n→∞
a_n．

难度：中等

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6．设S_n是公比q（q＞0），首项为1的等比数列前n项和，求
lim
n→∞
Sn
Sn+1
．

难度：中等

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7．已知a_n=
1
n(n+1)
，1≤n≤3
1
2n-1
，n≥4
．S_n为前n项的和，求（1）
lim
n→∞
an；（2）
lim
n→∞
Sn．

难度：中等

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8．已知{a_n}是首项为1，公差为d的等差数列，其前n项的和为A_n；{b_n}是首项为1，公比为q（|q|＜1）的等比数列，其前n项的和为B_n．设S_n=B₁+B₂+…+B_n．若
lim
n→∞
（
An
n
-S_n）=1，求d和q．

难度：中等

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9．一个无穷等比数列{a_n}中a_n＞0，且若a₂+a₃+a₄+…+a n +…≤
a1
2
，求公比q的取值范围．

难度：中等

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10．已知数列{x_n}，{y_n}满足
lim
n→∞
（2x_n+y_n）=1，
lim
n→∞
（x_n-2y_n）=1，求
lim
n→∞
（x_ny_n）的值．

难度：较易

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