知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知等比数列{a_n}的公比q＞1，前n项和为S_n，并且满足a₂+a₃+a₄=28，a₃+2是a₂和a₄的等差中项．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=a_nlog
1
2
a_n，S_n=b₁+b₂+…+b_n，求使S_n＞254-n•2ⁿ⁺¹成立的正整数n的最小值．

难度：中等

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2．已知数列{a_n}中，a₁=1，a₁+2a₂+3a₃+…+na_n=
n+1
2
a_n+1
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项a_n；
（Ⅱ）求数列{n²a_n}的前n项和T_n；
（Ⅲ）若存在n∈N^*，使得a_n≤（n+1）λ成立，求实数λ的最小值．

难度：较难

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3．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=1，4a_na_n-1+S_n=S_n-1+a_n-1（n≥2，n∈N^*）．
（1）证明：数列{
1
an
}是等差数列；
（2）若
an
λ
+
1
an+1
≥
1
λ
对任意整数n（n≥2）恒成立，求实数λ的取值范围．

难度：较难

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4．已知数列{a_n}满足a₁+2a₂+3a₃+…+na_n=n（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）令b_n=a_na_n+2（n∈N^*），T_n=b₁+b₂+…+b_n，求证：Tn＜
3
2
．

难度：中等

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5．已知数列{a_n}的前n项和为S_n=-a_n-
1
2n-1
+2（n∈N^*）
（Ⅰ）求证：数列{2ⁿa_n}是等差数列，并求出数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）令b_n=
n+1
n
an，求数列{b_n}的前n项和T_n；
（Ⅲ）令c_n=
an
n+an
，求证：当n≥2时，c₁+c₂+…+c_n＜
5
6
．

难度：较难

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6．由函数y=f（x）确定数列{a_n}，a_n=f（n），函数y=f（x）的反函数y=f^-1（x）能确定数列{b_n}，b_n=f^-1（n），若对于任意n∈N^*，都有b_n=a_n，则称数列{b_n}是数列{a_n}的“自反数列”．
（1）若函数f（x）=
px+1
x+1
确定数列{a_n}的自反数列为{b_n}，求a_n；
（2）已知正数数列{c_n}的前n项之和S_n=
1
2
(cn+
n
cn
)，写出S_n表达式，并证明你的结论；
（3）在（1）和（2）的条件下，d₁=2，当n≥2时，设d_n=
-1
an
S
2
n
，D_n是数列{d_n}的前n项之和，且
lim
n→∞
Dn＞log_a（1-2a）恒成立，求a的取值范围．

难度：较难

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7．已知数列{b_n}的前n项和为S_n，b₁=1，且点（n．S_n+n+2）在函数y=2^x+1的图象上，若数列{a_n}满足a₁=1，a_n=b_n（
1
b1
+
1
b2
+…+
1
bn-1
）（n≥2，n∈N^*）．
（Ⅰ）求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）（i）求证：
an+1
an+1
=
bn
bn+1
（n≥2，n∈N^*）；
（ii）求证：（1+
1
a1
）（1+
1
a2
）（1+
1
a3
）…（1+
1
an
）＜
10
3
．

难度：中等

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8．已知数列{a_n}的首项a₁=1，∀n∈N^*，a_n+1=
2an
2+an
．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{
an
n
}的前n项和S_n；
（3）求证：∀n∈N^*，a₁²+a₂²+a₃²+…+a_n²＜3．

难度：中等

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9．已知数列{a_n}的通项公式是a_n=
1
n+1
+
1
n+2
+…+
1
2n
（n∈N^*）．
（1）求证：数列{a_n}是递增数列；
（2）若对一切大于1的正整数n，不等式a_n＞
1
12
log_a（a+1）+
2
3
恒成立，求实数a的取值范围．

难度：中等

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10．已知数列{a_n}中，a₂=1，前n项和为S_n，且2S_n=n（a_n-a₁）．
（1）求a₁；
（2）求证：数列{a_n}为等差数列，并求其通项公式；
（3）若b_n=
an+3
an+1an+22an+1
，且b₁+b₂+…+b_n-1≤1-（k+1）b_n对一切正整数n恒成立，求k的最大值．

难度：中等

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