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          共50条信息

            • 1． 在数列{an}中，a1=1，a2=2，记
              AnAn+1
              =（an，an+1）（n∈N*），且
              A1A2
              ∥
              AnAn+1
              对任意n∈N*恒成立．
              （1）求数列{an}的通项公式；
              （2）是否存在等差数列{bn}，使得a1b1+a2b2+…+anbn=（2n-3）2n+3对任意n∈N*都成立？若存在，求出数列{bn}的通项公式；若不存在，请说明理由．
              难度：中等
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            • 2． 已知数列{an}的前n项和为Sn，其中a1=1．已知向量
              a
              =（2，an），
              b
              =（n+1，Sn）（n∈N*），且存在常数λ，使
              a
              =λ
              b
              ．
              （1）求数列{an}的通项公式；
              （2）若数列{bn}满足a1b1+a2b2+…+anbn=2+（n-1）•2n+1（n∈N*），求数列{an+bn}的前n项和Tn．
              难度：中等
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            • 3． 我们把一系列向量
              ai
              （i=1，2，…，n…）排成一列，称为向量列，记作{
              an
              }，又设
              an
              =（xn，yn），假设向量列{
              an
              }满足：
              a1
              =（
              		2
              ，
              		2
              ），
              an
              =
              1
              2
              		2
              （
              		3
              xn-1-yn-1，xn-1+
              		3
              yn-1）（n≥2）．
              （1）证明数列{|
              an
              |}是等比数列；
              （2）设θn表示向量
              an
              ，
              an+1
              （n∈N*）间的夹角，若bn=sin2nθn，记{bn}的前n项和为Sn，求S3m；
              （3）设f（x）是R上不恒为零的函数，且对任意的a，b∈R，都有f（a•b）=af（b）+bf（a），若f（2）=2，un=
              f(
              |
              an
              |2
              8
              )
              n
              （n∈N*），求数列{un}的前n项和Tn．
              难度：较难
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            • 4． 设正项数列{an}的前n项和为Sn，向量
              a
              =（
              		Sn
              ，1），
              b
              =（an+1，2）（n∈N*）满足
              a
              ∥
              b
              ．
              （1）求数列{an}的通项公式；
              （2）设数列{bn}的通项公式为bn=
              an
              an+t
              （t∈N*），若b1，b2，bm（m≥3，m∈N*）成等差数列，求t和m的值；
              （3）如果等比数列{cn}满足c1=a1，公比q满足0＜q＜
              1
              2
              ，且对任意正整数k，ck-（ck+1+ck+2）仍是该数列中的某一项，求公比q的取值范围．
              难度：较难
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            • 5． 已知正项数列{an}的前n项和为Sn，向量
              AB
              =（Sn，
              1
              4
              -an），其中n∈N*，
              CD
              =（1，-
              1
              2
              ），且满足
              AB
              ∥
              CD
              ．
              （1）求数列{an}的通项公式；
              （2）是否存在正整数M，使得当n＞M时，a1a4a7…a3n-2＞a78恒成立？若存在，求出M的最小值；若不存在，请说明理由；
              （3）若数列对任意的n∈N*都有b1an+b2an-1+b3an-2+…+bn-1a2+bna1=2n-
              n
              2
              -1，求数列{bn}的通项公式．
              难度：较难
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            • 6． 已知点A1（a1，0），A2（a2，0），…An（an，0），…依次在x轴上，满足a1=1，a2=5且
              AnAn+1
              =
              1
              2
              An-1An
              （n=2，3，…）．点B1（b1，c1），B2（b2，c2），…Bn（bn，cn），…依次在射线y=x（x≥0）上，且B1（3，3），|
              OBn
              |=|
              OBn-1
              |+2
              		2
              |（n=2，3，…）
              （1）用n表示Bn的坐标；
              （2）用n表示An的坐标；
              （3）设Sn为数列{an+bn}的前n项和，求Sn．
              难度：中等
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            • 7． 已知向量
              a1
              =(1，-7)              ，
              d
              =(1，1)              ，对任意n∈N*都有
              an+1
              =
              an
              +
              d
              ．
              （1）求|
              an
              |              的最小值；
              （2）求正整数m，n，使
              am
              ⊥
              an
              ．
              难度：中等
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            • 8． 已知向量
              a
              =(sin
              ωx
              2
              ，
              1
              2
              )，
              b
              =(cos
              ωx
              2
              ，-
              		3
              2
              )，ω＞0，x≥0              ，函数f(x)=
              a
              •
              b
              的第n（n∈N*）个零点记作xn（从小到大依次计数），所有xn组成数列{xn}．
              （Ⅰ）求函数f（x）的值域；
              （Ⅱ）若ω=2，求数列{xn}的前100项和S100．
              难度：中等
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            • 9． 设M（cos
              π
              3
              x+cos
              π
              4
              x，sin
              π
              3
              x+sin
              π
              4
              x）（x∈R）为坐标平面上一点，记f（x）=|
              OM
              |2              -2，且f（x）的图象与射线y=0（x≥0）交点的横坐标由小到大依次组成数列{an}，则|an+3-an|等于（　　）
              A．12
              B．24
              C．36
              D．484
              难度：较易
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            • 10． 已知函数y=f（x）满足
              a
              =(x2，y)，
              b
              =(x-
              1
              x
              ，-1)              ，且
              a
              •
              b
              =-1              ．如果存在正项数列{an}满足：a1=
              1
              2
              ，
              n
              i=1
              f(ai)-n=
              n
              i=1
              ai3-n2an(n∈N*)              ．
              （1）求数列{an}的通项；
              （2）证明：
              n
              i=1
              ai
              i
              ＜3              ．
              难度：较难
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