知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

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共50条信息

1．

朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的$《$四元玉鉴$》$卷中“如像招数”五问中有如下问题：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多七人，每人日支米三升，共支米四百三石九斗二升，问筑堤几日”$.$其大意为“官府陆续派遣$1864$人前往修筑堤坝，第一天派出$64$人，从第二天开始每天派出的人数比前一天多$7$人，修筑堤坝的每人每天分发大米$3$升，共发出大米$40392$升，问修筑堤坝多少天”，在该问题中前$5$天共分发了多少大米？$($　　$)$

A．$1170$升

B．$1380$升

C．$3090$升

D．$3300$升

难度：较易

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2．
已知实数$a$，$b$，$c$成等比数列，$a+6$，$b+2$，$c+1$成等差数列，则$b$的最大值为 ______ ．

难度：中等

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3．
已知数列$\{a_{n}\}$是公比为$2$的等比数列，且$a_{2}$，$a_{3}+1$，$a_{4}$成等差数列．
$(1)$求数列$\{a_{n}\}$的通项公式；
$(2)$记$b_{n}= \dfrac {1}{\log _{2}a_{n+1}\cdot \log _{2}a_{n+2}}$，求数列$\{b_{n}\}$的前$n$项和$T_{n}$．

难度：较易

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4．
已知正项数列$\{ \dfrac {a_{n}}{3^{n}}\}$是公差为$2$的等差数列，且$a_{1}$，$9$，$a_{2}$成等比数列．
$(1)$求数列$\{a_{n}\}$的通项公式；
$(2)$求数列$\{a_{n}\}$的前$n$项和$S_{n}$．

难度：较易

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5．
已知公比不为$1$的等比数列$\{a_{n}\}$的前$3$项积为$27$，且$2a_{2}$为$3a_{1}$和$a_{3}$的等差中项．
$(1)$求数列$\{a_{n}\}$的通项公式$a_{n}$；
$(2)$若数列$\{b_{n}\}$满足$b_{n}=b_{n-1}⋅\log _{3}a_{n+1}(n\geqslant 2,n∈N^{*})$，且$b_{1}=1$，求数列$\{ \dfrac {b_{n}}{b_{n+2}}\}$的前$n$项和$S_{n}$．

难度：较易

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6．
已知$n∈N*$，且$n\geqslant 4$，数列$T$：$a_{1}$，$a_{2}$，$…$，$a_{n}$中的每一项均在集合$M=\{l,2,…,n\}$中，
且任意两项不相等．
$(1)$若$n=7$，且$a_{2} < a_{3} < a_{4} < a_{5} < a_{6}$，求数列$T$的个数；
$(2)$若数列$T$中存在唯一的$a_{k}(k∈N*$，且$k < n)$，满足$a_{k} > a_{k+1}$，求所有符合条件的数列$T$的个数．

难度：较易

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7．
若数列$\{a_{n}\}$同时满足条件：$①$存在互异的$p$，$q∈N*$使得$a_{p}=a_{q}=c(c$为常数$)$；
$②$当$n\neq p$且$n\neq q$时，对任意$n∈N*$都有$a_{n} > c$，则称数列$\{a_{n}\}$为双底数列．
$(1)$判断以下数列$\{a_{n}\}$是否为双底数列$($只需写出结论不必证明$)$：
$①a_{n}=n+ \dfrac {6}{n}$； $②a_{n}=\sin \dfrac {nπ}{2}$； $③a_{n}=|(n-3)(n-5)|$；
$(2)$设$a_{n}=\begin{cases}101-2n,1\leqslant n\leqslant 50 \\ {2}^{n-50}+m,n > 50\end{cases} $，若数列$\{a_{n}\}$是双底数列，求实数$m$的值以及数列$\{a_{n}\}$的前$n$项和$S_{n}$；
$(3)$设$a_{n}=(kn+3)( \dfrac {9}{10})^{n}$，是否存在整数$k$，使得数列$\{a_{n}\}$为双底数列？若存在，求出所有的$k$的值，若不存在，请说明理由．

难度：较易

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8．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲（水生植物名）生一日，长三尺；莞（植物名，俗称水葱、席子草）生一日，长一尺．蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长等？”意思是：今有蒲生长1日，长为3尺；莞生长1日，长为1尺．蒲的生长逐日减半，莞的生长逐日增加1倍．若蒲、莞长度相等，则所需的时间约为 ______ 日．（结果保留一位小数，参考数据：lg2≈0.30，lg3≈0.48）

难度：难

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9．等差数列{a_n}中，已知a_n＞0，a₂+a₅+a₈=33，且a₁+2，a₂+5，a₃+13构成等比数列{b_n}的前三项．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）记 $c_%7Bn%7D%3D%20%5Cfrac%20%7Ba_%7Bn%7D%7D%7Bb_%7Bn%7D%7D%2B1$ ，求数列{c_n}的前n项和T_n．

难度：较难

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10．已知数列{a_n}的通项公式a_n=2ⁿ-（-1）ⁿ，n∈N^*．设a_n₁，a_n₂，…，a_{n_t}（其中n₁＜n₂＜…＜n_t，t∈N^*）成等差数列．
（1）若t=3．
①当n₁，n₂，n₃为连续正整数时，求n₁的值；
②当n₁=1时，求证：n₃-n₂为定值；
（2）求t的最大值．

难度：较易

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