知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
若实数\(1\)，\(x\)，\(y\)，\(4\)成等差数列，\(-2\)，\(a\)，\(b\)，\(c\)，\(-8\)成等比数列，则\( \dfrac {y-x}{b}=\) ______ ．

难度：易

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2．
已知等差数列\(\{a_{n}\}\)满足\(a_{1}+a_{2}=10\)，\(a_{4}-a_{3}=2\)．
\((\)Ⅰ\()\)求\(\{a_{n}\}\)的通项公式；
\((\)Ⅱ\()\)设等比数列\(\{b_{n}\}\)满足\(b_{2}=a_{3}\)，\(b_{3}=a_{7}\)，问：\(b_{6}\)与数列\(\{a_{n}\}\)的第几项相等？

难度：较易

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3．

已知数列\(\{a_{n}\}\)是公差不为\(0\)的等差数列，\(a_{1}=1\)，且\(a_{1}\)，\(a_{2}\)，\(a_{5}\)成等比数列，那么数列\(\{a_{n}\}\)的前\(10\)项和\(S_{10}\)等于\((\)　　\()\)

A．\(90\)

B．\(100\)

C．\(10\)或\(90\)

D．\(10\)或\(100\)

难度：易

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4．
已知等差数列\(\{a_{n}\}\)的首项为\(a\)，公差为\(b\)，等比数列\(\{b_{n}\}\)的首项为\(b\)，公比为\(a\)．
\((\)Ⅰ\()\)若数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和\(S_{n}=-n^{2}+3n\)，求\(a\)，\(b\)的值；
\((\)Ⅱ\()\)若\(a∈N^{+}\)，\(b∈N^{+}\)，且\(a < b < a_{2} < b_{2} < a_{3}\)．
\((i)\)求\(a\)的值；
\((ii)\)对于数列\(\{a_{n}\}\)和\(\{b_{n}\}\)，满足关系式\(a_{n}+k=b_{n}\)，\(k\)为常数，且\(k∈N^{+}\)，求\(b\)的最大值．

难度：较易

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5．

我国古代数学名著\(《\)算法统宗\(》\)中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座\(7\)层塔共挂了\(381\)盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的\(2\)倍，则塔的顶层共有灯\((\)　　\()\)

A．\(1\)盏

B．\(3\)盏

C．\(5\)盏

D．\(9\)盏

难度：易

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6．
已知数列\(\{a_{n}\}\)是公比为\( \dfrac {1}{3}\)的等比数列，且\(a_{2}+6\)是\(a_{1}\)和\(a_{3}\)的等差中项．
\((\)Ⅰ\()\)求\(\{a_{n}\}\)的通项公式；
\((\)Ⅱ\()\)设数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项之积为\(T_{n}\)，求\(T_{n}\)的最大值．

难度：较易

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7．
在等比数列\(\{a_{n}\}\)中，\(2a_{1}, \dfrac {3}{2}a_{2},a_{3}\)成等差数列，则等比数列\(\{a_{n}\}\)的公比为 ______ ．

难度：难

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8．
数列\(A_{n}\)：\(a_{1}\)，\(a_{2}\)，\(…\)，\(a_{n}(n\geqslant 4)\)满足：\(a_{1}=1\)，\(a_{n}=m\)，\(a_{k+1}-a_{k}=0\)或\(1(k=1,2,…,n-1).\)对任意\(i\)，\(j\)，都存在\(s\)，\(t\)，使得\(a_{i}+a_{j}=a_{s}+a_{t}\)，其中\(i\)，\(j\)，\(s\)，\(t∈\{1,2,…,n\}\)且两两不相等．
\((\)Ⅰ\()\)若\(m=2\)，写出下列三个数列中所有符合题目条件的数列的序号；
\(①1\)，\(1\)，\(1\)，\(2\)，\(2\)，\(2\)；\(②1\)，\(1\)，\(1\)，\(1\)，\(2\)，\(2\)，\(2\)，\(2\)；\(③1\)，\(1\)，\(1\)，\(1\)，\(1\)，\(2\)，\(2\)，\(2\)，\(2\)
\((\)Ⅱ\()\)记\(S=a_{1}+a_{2}+…+a_{n}.\)若\(m=3\)，证明：\(S\geqslant 20\)；
\((\)Ⅲ\()\)若\(m=2018\)，求\(n\)的最小值．

难度：中等

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9．
设等比数列\(\{a_{n}\}\)满足\(a_{n} > 0\)，且\(a_{1}+a_{3}= \dfrac {5}{16}\)，\(a_{2}+a_{4}= \dfrac {5}{8}\)，则\(\log _{2}(a_{1}a_{2}…a_{n})\)的最小值为 ______ ．

难度：较易

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10．
设同时满足条件：\(①b_{n}+b_{n+2}\geqslant 2b_{n+1}\)；\(②b_{n}\leqslant M(n∈N^{*},M\)是常数\()\)的无穷数列\(\{b_{n}\}\)叫“欧拉”数列\(.\)已知数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和\(S_{n}\)满足\((a-1)S_{n}=a(a_{n}-1)(a\)为常数，且\(a\neq 0\)，\(a\neq 1)\)．
\((1)\)求数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式；
\((2)\)设\(b_{n}= \dfrac {S_{n}}{a_{n}}+1\)，若数列\(\{b_{n}\}\)为等比数列，求\(a\)的值，并证明数列\(\{ \dfrac {1}{b_{n}}\}\)为“欧拉”数列．

难度：较易

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