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          共50条信息

            • 1． 为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得-1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得-1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X．
              （1）求X的分布列；
              （2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，pi（i=0，1，…，8）表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p0=0，p8=1，pi=api-1+bpi+cpi+1（i=1，2，…，7），其中a=P（X=-1），b=P（X=0），c=P（X=1）．假设α=0.5，β=0.8．
              （i）证明：{pi+1-pi}（i=0，1，2，…，7）为等比数列；
              （ii）求p4，并根据p4的值解释这种试验方案的合理性．
              难度：较难
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            • 2．
              已知等比数列\(\{a_{n}\}\)的公比\(q > 1\)，且\(a_{3}+a_{4}+a_{5}=28\)，\(a_{4}+2\)是\(a_{3}\)，\(a_{5}\)的等差中项\(.\)数列\(\{b_{n}\}\)满足\(b_{1}=1\)，数列\(\{(b_{n+1}-b_{n})a_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(2n^{2}+n\)．
              \((\)Ⅰ\()\)求\(q\)的值；
              \((\)Ⅱ\()\)求数列\(\{b_{n}\}\)的通项公式．
              难度：较易
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            • 3．
              设\(\{a_{n}\}\)是等比数列，公比大于\(0\)，其前\(n\)项和为\(S_{n}(n∈N*)\)，\(\{b_{n}\}\)是等差数列\(.\)已知\(a_{1}=1\)，\(a_{3}=a_{2}+2\)，\(a_{4}=b_{3}+b_{5}\)，\(a_{5}=b_{4}+2b_{6}\)．
              \((\)Ⅰ\()\)求\(\{a_{n}\}\)和\(\{b_{n}\}\)的通项公式；
              \((\)Ⅱ\()\)设数列\(\{S_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(T_{n}(n∈N*)\)，
              \((i)\)求\(T_{n}\)；
              \((ii)\)证明\( \sum\limits_{k=1}^{n} \dfrac {(T_{k}+b_{k+2})b_{k}}{(k+1)(k+2)}= \dfrac {2^{n+2}}{n+2}-2(n∈N*)\)．
              难度：较易
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            • 4．
              给定无穷数列\(\{a_{n}\}\)，若无穷数列\(\{b_{n}\}\)满足：对任意\(n∈N^{*}\)，都有\(|b_{n}-a_{n}|\leqslant 1\)，则称\(\{b_{n}\}\)与\(\{a_{n}\}\)“接近”．
              \((1)\)设\(\{a_{n}\}\)是首项为\(1\)，公比为\( \dfrac {1}{2}\)的等比数列，\(b_{n}=a_{n+1}+1\)，\(n∈N^{*}\)，判断数列\(\{b_{n}\}\)是否与\(\{a_{n}\}\)接近，并说明理由；
              \((2)\)设数列\(\{a_{n}\}\)的前四项为：\(a_{1}=1\)，\(a_{2}=2\)，\(a_{3}=4\)，\(a_{4}=8\)，\(\{b_{n}\}\)是一个与\(\{a_{n}\}\)接近的数列，记集合\(M=\{x|x=b_{i},i=1,2,3,4\}\)，求\(M\)中元素的个数\(m\)；
              \((3)\)已知\(\{a_{n}\}\)是公差为\(d\)的等差数列，若存在数列\(\{b_{n}\}\)满足：\(\{b_{n}\}\)与\(\{a_{n}\}\)接近，且在\(b_{2}-b_{1}\)，\(b_{3}-b_{2}\)，\(…\)，\(b_{201}-b_{200}\)中至少有\(100\)个为正数，求\(d\)的取值范围．
              难度：中等
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            • 5．
              设\(\{a_{n}\}\)是等差数列，其前\(n\)项和为\(S_{n}(n∈N*)\)；\(\{b_{n}\}\)是等比数列，公比大于\(0\)，其前\(n\)项和为\(T_{n}(n∈N*).\)已知\(b_{1}=1\)，\(b_{3}=b_{2}+2\)，\(b_{4}=a_{3}+a_{5}\)，\(b_{5}=a_{4}+2a_{6}\)．
              \((\)Ⅰ\()\)求\(S_{n}\)和\(T_{n}\)；
              \((\)Ⅱ\()\)若\(S_{n}+(T_{1}+T_{2}+……+T_{n})=a_{n}+4b_{n}\)，求正整数\(n\)的值．
              难度：较易
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            • 6．

              \(S\)\({\,\!}_{n}\)为等差数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和，且\({{a}_{1}}\)\(=1\) ，\({{S}_{7}}\)\(=28\)  记\(b_{n}=[\lg a_{n}]\)，其中\([x]\)表示不超过\(x\)的最大整数，如\([0.9] = 0\)，\([\lg 99]=1\)。

              \((I)\)求\({{b}_{1}}\)，\({{b}_{11}}\)，\({{b}_{101}}\)；

              \((II)\)求数列\(\{b_{n}\}\)的前\(1 000\)项和．

              难度：中等
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            • 7．
              对于给定的正整数\(k\)，若数列\(\{a_{n}\}\)满足：\(a_{n-k}+a_{n-k+1}+…+a_{n-1}+a_{n+1}+…a_{n+k-1}+a_{n+k}=2ka_{n}\)对任意正整数\(n(n > k)\)总成立，则称数列\(\{a_{n}\}\)是“\(P(k)\)数列”．
              \((1)\)证明：等差数列\(\{a_{n}\}\)是“\(P(3)\)数列”；
              \((2)\)若数列\(\{a_{n}\}\)既是“\(P(2)\)数列”，又是“\(P(3)\)数列”，证明：\(\{a_{n}\}\)是等差数列．
              难度：较易
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            • 8．
              已知\(\{a_{n}\}\)为等差数列，前\(n\)项和为\(S_{n}(n∈N^{+})\)，\(\{b_{n}\}\)是首项为\(2\)的等比数列，且公比大于\(0\)，\(b_{2}+b_{3}=12\)，\(b_{3}=a_{4}-2a_{1}\)，\(S_{11}=11b_{4}\)．
              \((\)Ⅰ\()\)求\(\{a_{n}\}\)和\(\{b_{n}\}\)的通项公式；
              \((\)Ⅱ\()\)求数列\(\{a_{2n}b_{2n-1}\}\)的前\(n\)项和\((n∈N^{+}).\)
              难度：较难
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            • 9．
              已知\(\{a_{n}\}\)为等差数列，前\(n\)项和为\(S_{n}(n∈N^{*})\)，\(\{b_{n}\}\)是首项为\(2\)的等比数列，且公比大于\(0\)，\(b_{2}+b_{3}=12\)，\(b_{3}=a_{4}-2a_{1}\)，\(S_{11}=11b_{4}\)．
              \((\)Ⅰ\()\)求\(\{a_{n}\}\)和\(\{b_{n}\}\)的通项公式；
              \((\)Ⅱ\()\)求数列\(\{a_{2n}b_{n}\}\)的前\(n\)项和\((n∈N^{*}).\)
              难度：较难
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            • 10．
              几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件\(.\)为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动\(.\)这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列\(1\)，\(1\)，\(2\)，\(1\)，\(2\)，\(4\)，\(1\)，\(2\)，\(4\)，\(8\)，\(1\)，\(2\)，\(4\)，\(8\)，\(16\)，\(…\)，其中第一项是\(2^{0}\)，接下来的两项是\(2^{0}\)，\(2^{1}\)，再接下来的三项是\(2^{0}\)，\(2^{1}\)，\(2^{2}\)，依此类推\(.\)求满足如下条件的最小整数\(N\)：\(N > 100\)且该数列的前\(N\)项和为\(2\)的整数幂\(.\)那么该款软件的激活码是\((\)　　\()\)
              A．\(440\)
              B．\(330\)
              C．\(220\)
              D．\(110\)
              难度：难
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